2021七宝中学综合素养调研测试答案(1).docx

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2016 年七宝中学综合素养调研测试
一、填空题（每题5 分，共 40 分）
若 125 的立方根是 A，
25 的算术平方根为 B ，则 A + B = .
5
3 ( 125 )
【答】 2
【解析】

= = 5 ， (

5
5
25 ) = Þ A + B = 2
3 (
5 )3
设 x ，y 为实数，则代数式 2x2 + 4xy + 5 y2 - 4x + 2 y + 5 的最小值为 .
【答】 0
【解析】原式 = (x2 + 4xy + 4 y2 )+ (x2 - 4x + 4)+ (y2 + 2 y + 1)
= (x +2 y)2
+( x -2 2)
+( y
1+2 )≥
当 x = 2 ，y = -1 时等号成立.
方程： 3x + 4x + 5x = 6x 的解有 个.
【答】1

æ 3 öx

æ 4 öx

æ 5 öx

æ 3 öx

æ 4 öx

æ 5 öx
【解析】由题意ç 6 ÷
+ ç 6 ÷
+ ç 6 ÷
= 1 ，而ç 6 ÷
、ç 6 ÷
、ç 6 ÷
均随 x 的增大而减小，值域
è ø è ø è ø è ø è ø è ø
取到 0 .
已知两质数 p ，q 之和为 2019 ，则( p -1)q-1 ( p > q) 的值为 .
【答】 2016
【解析】根据题意 p ，q 中必有一个偶数， Þ p = 2017 ，q = 2 Þ ( p -1)q-1 = 2016
在直角三角形 ABC 中，CD ，CE 分别是斜边 AB 上的高，中线，BC = a ，AC = 3(a > 3)，
若 tan ÐDCE = 1 ，则 a = .
D
E
3 A
B C
10
【答】3 + 3
10
【解析】设 DE = x ，则 AE = BE = CE = 10x ，
9 = AC 2 = AD × AB = (
10
BC2 = BD × AB = (
-1)´ 2 10x2 ，
+ 1)´ 2 10x2 = 9(1 +

10 )2 ，
10
BC = 3 + 3 .
6. 在平面直角坐标系内，已知四个定点 A(-3，0)，B (1，-1)，C (0 ，3)，D (-1，3) 及一个动点 P ，则∣PA∣+∣PB∣+∣PC∣+∣PD∣的最小值为 .
2
5
【答】3 + 2
18
20
2
5
【解析】易知四边形 ABCD 为凸四边形，设对角线 BD 与 AC 交点为O ，
∣PA∣+∣PB∣+∣PC∣+∣PD∣≥∣AC∣+∣BD∣=
当 P 与O 重合时等号成立.
+ = 3 + 2 ，
7. 已知函数 f (x) = x2 - 2(a + 2) x + a2 ，g (x) = -x2 + 2(a - 2)x - a2 + 8.
设 H1 (x) = max{ f (x)，g (x)}， H2 (x) = min{ f (x)，g (x)}，max{ p ，q} 表示 p ，q 中的较大值， min{p ，q} 表示 p ，q 中的较小值，记 H1 (x) 得最小值 A ，H2 (x) 得最大值为 B ， 则 A - B = .
【答】 -12
【解析】 f (x) = (x - a - 2)2 - 4a - 4 ，g (x) = -(x - a + 2)2 - 4a + 8
当 x = a + 2 ，f (x) = g (x) = -4a - 4 ，当 x = a - 2 ， f (x) = g (x) = -4a + 8 ， 而 gmax = g (a - 2) = -4a + 8 ， Þ H2 (x)≤ g (x)≤ gmax = -4a + 8
fmin = f (a + 2) = -4a - 4 ， Þ H1 (x)≥ f (x)≥ fmin = -4a - 4 ，两个等号都能取到，
Þ A = -4a - 4 ，B = -4a + 8 Þ A - B = -12
8. 不等式(x + 1)(x2 - 4x + 3)> 0 有多重解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中做
出 y1
= x + 1 和 y2
= x2 - 4x + 3 的图像然后进行求解，请类比求解以下问题：
设 a ，b 为整数，若对任意 x ≤ 0 ，都有(ax + 2)(x2 + 2b)≤ 0 成立，则 a + b = .
【答】 3
【解析】作图略，显然 a ¹ 0 ，由于 x 的负半轴上 ax + 2 与 x2 + 2b 不同号Þ ax + 2 与 x2 + 2b
在 x 负半轴上交点相同， Þ 2a2b = a2 x2 = 4 Þ a2b = 2 (a > 0) ， a = 1，b = 2 ， a + b = 3
二、解答题：（共 20 分）
9. （ 10 分）已知关于 x 的方程 4x2 - 8nx - 3n - 2 = 0 ①和 x2 - (n + 3) x - 2n2 + 2 = 0 ②问是否存在这样的 n 值，使方程①的两个实数根的差的平方等于方程②的一整数根？若存在，求出这样的 n 值；若不存在，请说明理由.
【答】 0
1 2
【解析】若存在 n 满足题意， (x - x )2 = 4n2 + 3n + 2 ，②中(x + n -1)(x - 2(n + 1)) = 0 ，
若 4n2 + 3n + 2 + n -1 = 0 ，则 n =- 1 ，但1 - n = 3 不为整数，舍；
2 2
若 4n2 + 3n + 2 = 2n + 2 ，则 n = 0 或 - 1 ，当2n + 2 为整数，则n = 0 .
4
将 n = 0 代入验证成立.
ak }
10. （ 10 分）对于数对序列 P (a1 ，b1 )，(a2 ，b2 )， ，(an ，bn )， 记T1 (P) = a1 + b1 ， Tk (P) = bk + max{Tk -1 (P)，a1 + a2 + + ak }(2 ≤ k ≤ n)，其中max{Tk -1 (P)，a1 + a2 +表示Tk -1 (P ) 和 a1 + a2 + + ak 两个数中最大的数.
(1) 对于数对序列 P : (2 ，5)，(4 ，1)，求T1 (P)，T2 (P) 的值；
(2) 记 m 为 a 、b 、c 、d 四个数中最小值的数，对于有两个数对(a ，b)，(c ，d ) 组成的数对序列 P : (a ，b)，(c ，d ) 和 P ': (c ，d )，(a ，b)， 试分别对m = a 的m = d 时两种情况比较
T2 (P ) 和T2 (P ') 的大小.
【答】(1) 7 ，8 (2) T1 (P)≤ T1 (P ')
【解析】(1) T1 (P) = 2 + 5 = 7 ， T2 (P) = 1 + max{7 ，2 + 4} = 1 + 7 = 8
(2) T (P) = a + b ，T (P) = d + max{ a + b ，a + c} = d + a + b + c+∣b - c∣
1 2 2 ，
T (P ' )= c + d ，T (P )= b + max{ c + d ，c + a} = b + c + d + a+∣d - a∣
1 2 2 ，
T1 (P )- T1
(P '
)= a - b - c + d +∣b - c∣-∣d - a∣
2 2
若 m = a ， T (P) - T (P ') = 2a - b - c+∣b - c∣= a - c 或 a - b ，于是T (P)≤ T (P ')
1 1 2 1 1
若 m = d ， T (P) - T (P ') = 2d - b - c+∣b - c∣= d - b 或d - c ，于是T (P )≤ T (P ') .
1 1 2 1 2