2021二轮复习完美题型汇编导数第3讲导数研究函数极值最值学生.docx

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[基础回顾]
1．函数的极值与导数
条件
f′(x0)＝0
x0 附近的左侧 f′(x)≥0，右侧
f′(x)≤0
x0 附近的左侧 f′(x)≤0，右
侧 f′(x)≥0
图象
极植
f(x0)为极大值
f(x0)为极小值
极值点
x0 为极大值点
x0 为极小值点

(1)在闭区间[a，b]上连续的函数 f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数 f(x)在[a，b]上单调递增，则 f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数 f(x)
在[a，b]上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
[完美题型展现]
题型一 求函数极值
例 1(2020·天津和平区模拟)已知函数 f(x)＝ln x－ax(a∈R).
＝
(1)当 a 1
2
时，求
f(x)的极值；
(2)讨论函数 f(x)在定义域内极值点的个数.
[题型特训]
1.(2017·全国Ⅱ卷)若 x＝－2 是函数 f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1 的极值点，则 f(x)的极小值为( )
A.－1 B.－2e－3 －3
题型二 已知函数的极值求参数的取值
例 2 (2020·泰安检测)已知函数 f(x)＝ln x.
(1)求 f(x)图象的过点 P(0，－1)的切线方程；
(2)若函数 g(x)＝f(x)－mx＋m存在两个极值点 x1，x2，求 m 的取值范围.
x
[题型特训]
f(x)＝
x3－a
3 2
1，4
x2＋x＋1 在区间 3
上有极值点，则实数 a 的取值范围是( )
2，10
A. 3 B.
10，17

2，10
3
2，17
C. 3 4 D. 4
2.(2018·北京卷)设函数 f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex.
①若曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与 x 轴平行，求 a；
②若 f(x)在 x＝2 处取得极小值，求 a 的取值范围.
题型三 求函数最值
例 3 (2020·贵阳检测)已知函数 f(x)
x－1
ln x.
＝ －
x
(1)求 f(x)的单调区间；
1，e
(2)求函数 f(x)在 e 上的最大值和最小值(其中 e 是自然对数的底数)．
例 4 (2019·广东五校联考)已知函数 f(x)＝ax＋ln x，其中 a 为常数.
(1)当 a＝－1 时，求 f(x)的最大值；
(2)若 f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求 a 的值.
[题型特训]
1．(2017·北京)已知函数 f(x)＝excos x－x.
(1)求曲线 y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
0，π
(2)求函数 f(x)在区间 2 上的最大值和最小值.
题型四 利用导数求解最优化问题
例 5 (2020·衡水中学质检)在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为 60 米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v(米/单位时间)，每单位时间的用氧
v 3
量为 10 ＋1(升)，在水底作业 10 个单位时间，每单位时间用氧量为 (升)，返回水面的平
均速度为v(米/单位时间)，每单位时间用氧量为 (升)，记该潜水员在此次考察活动中的总 2
用氧量为 y(升).
(1)求 y 关于v的函数关系式；
(2)若 c≤v≤15(c>0)，求当下潜速度v取什么值时，总用氧量最少.
[题型特训]
1． (2017·全国Ⅰ卷)如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 ，E，F 为圆 O 上的点，△DBC，△ECA，△FAB 分别是以 BC，CA，AB ，分别以 BC，CA，AB 为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB
， 使得 D，E，F 重合，△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为 .
[特训作业]
y＝f(x)导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是( )
A.(－1，3)为函数 y＝f(x)的递增区间
B.(3，5)为函数 y＝f(x)的递减区间
y＝f(x)在 x＝0 处取得极大值
y＝f(x)在 x＝5 处取得极小值
a∈R，若函数 y＝ex＋ax 有大于零的极值点，则( ) <－1 >－1
a>－1
e

a<－1
e
f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2 在 x＝1 处有极值 10，则 f(2)等于( )
或 18
或 18
f(x)＝3x2＋ln x－2x 的极值点的个数是( )

5.(2019·青岛二模)已知函数 f(x)＝2ef′(e)ln x－x(e 是自然对数的底数)，则 f(x)的极大值为
e
( )
－1 B.－1
e
2
f(x)＝xe－x，x∈[0，4]的最大值是 .
f(x)＝－x3＋ax2－4 在 x＝2 处取得极值，若 m∈[－1，1]，则 f(m)的最小值是
.
f(x)＝
x3 a
－
3 2
1，3
x2＋x＋1 在区间 2
上有极值点，则实数 a 的取值范围是 .
f(x)＝aln x－bx2(x>0)，若函数 f(x)在 x＝1 处与直线 y＝－1相切.
2
(1)求实数 a，b 的值；
1，e
(2)求函数 f(x)在 e 上的最大值.
10.(2018·天津卷选编)设函数 f(x)＝(x－t1)(x－t2)(x－t3)，其中 t1，t2，t3∈R，且 t1，t2，t3 是公差为 d 的等差数列.
(1)若 t2＝0，d＝1，求曲线 y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)若 d＝3，求 f(x)的极值.
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