余弦定理.ppt

第一章三角公式及应用
余弦定理
*
知识积累复习巩固
1、正弦二倍角公式
2、余弦二倍角公式
3、正切二倍角公式
cos2α-sin2α
cos2α=
2cos2α-1
1-2sin2α
sin2α=
2sinαcosα
tan2α=
2tanα
1-tan2α
*
创设情境兴趣导入
2009年10月,内蒙古交通设计研究院有限责任公司在设计丹锡高速赤峰二道井子段(K166+280~K166+570)时,为保护夏家店文化文物,需要挖掘隧道,勘测人员将隧道口A和B定位在山的两侧(如图),在平地上选择适合测量的点C ,如果∠C=60°, AC = 330m,BC = 215m,试计算隧道AB的长度(精确到1m).
引例
*
创设情境兴趣导入
问题:如果知道三角形的两条边及它们的夹角,如何
求第三条边呢?
*
动脑思考探索新知
在△ABC中(如图),我们用a,b,c分别表示∠A,∠B, ∠C
同理可得
可以证明,
定理.
A
B
C
c
a
b
证明:
如图所示,设= c, = a, = b,得
a = b – c ,
=a·a=(b-c)·(b-c)=b·b-2b·c+c·c
= -2 cosA+
=b2 +c2-2bc cosA
即 a2=b2+c2-osA
的对边及其长度。
*
动脑思考探索新知
余弦定理三角形任何一边的平方等于其它两边的平方和
减去这两边的长与它们的夹角的余弦乘积的2倍. 即
()
是余弦定理的特例.
公式()经变形后可以写成
显然,当∠C = 90°时,,勾股定理
()
*
动脑思考探索新知
利用余弦定理可以解决下列解三角形的问题:
(1)已知三角形的两边及其夹角,求其它元素;
(2)已知三角形的三边,求其它元素.
*
分析
这是已知三角形的两边及其夹角,求其他元素的问题,.
解:
巩固知识典型例题
在△ABC中,已知a=6,b=3,∠C = 120°,求△ABC的其他元素.
例1
∵ c2=a2+b2-2abcosC
=62+32-2×6×3×(- )
=63,
∴ c =
∴
查表或计算器可得∠A=40°54′.
∴
查表或计算器可得∠B=19°06′.
*
运用知识强化练习
2009年10月,内蒙古交通设计研究院有限责任公司在设计丹锡高速赤峰二道井子段(K166+280~K166+570)时,为保护夏家店文化文物,需要挖掘隧道,勘测人员将隧道口A和B定位在山的两侧(如图),在平地上选择适合测量的点C ,如果∠C=60°, AC = 330m,BC = 215m,试计算隧道AB的长度(精确到1m).
引例
解: 在△ABC中,由余弦定理知
=84175.
所以 AB≈290m.
答:隧道AB的长度约为290m.
=3302+2152-2×330×215×cos60°
*
运用知识强化练习
△ABC中,a=35,b=24,∠C=60°,求c.
2. 在△ABC中, a=3 ,c=2,∠B=150°,求b.
7
31
*