2021学科特长生数学模拟试题(一).docx

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一．选择题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）。每道小题均给出了代号为 A，B，C，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得 0 分）
1．若关于 x 的方程 4x2 + 4mx - 3m -1 = 0 有两个相等的实数根，则 m3 + 4m2 + 4m - 2 的值为
（ ）
A． -3
B． -2
C． -1
D．1
9
2．如图， ABCD 、DEFG 都是正方形，边长分别为m 、n （ m < n ）。坐标原点O 为 AD 的中
点，A 、D 、E 在 y 轴上。若二次函数 y = ax2 的图像过C 、F 两点，则 n =
m
2
3
2
（ ）
9
3
A． +1
B． +1
C． 2 -1
D． 2 -1
9
3．如图，G 为△ABC 的重心，点 D 在CB 延长线上，且
BD = 1 BC ，过 D 、G 的直线交 AC 于点 E ，则 AE =
9
2
（ ）
A． 2
5

B． 3
5

C． 3
7
AC
D． 4
7
9
3
2
3
4．如图， H 、O 分别为△ABC 的垂心、外心， ÐBAC = 45° ，若△ABC 外接圆的半径为2 ， 则 AH = （ ）
9
A． 2
B． 2
C． 4 D． +1
9
5．满足方程 x2 - 4xy +19 y2 = 151 的整数对(x ，y) 有（ ）
A．0 对 B．2 对 C．4 对 D．6 对
9
二．填空题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35 分）
6．已知a ， b ， c 为正整数，且a > b > c 。若b + c ， a + c ， a + b 是三个连续正整数的平方， 则a2 + b2 + c2 的最小值为 。
7．如图， ABCD 为矩形， E 为对角线 AC 的中点， A 、 B 在 x 轴
上。若函数 y = 4 （ x > 0 ）的图像过 D 、E 两点，则矩形 ABCD 的
x
面积为 。
8．如图，△ABC 是边长为 8 的正三角形，D 为 AB 边上一点，⊙O1 为△ACD 的内切圆，⊙O2 为△CDB 的边 DB 上的旁切圆。若⊙O1 、⊙O2 的半径都是r ，则r = 。
9．若实数 x 满足[x]+ [2x]+ [3x ]= 2018 ，则[4x] = 。其中[x]表示不超过 x 的最大整数。
10．网络爬虫是一种互联网网页抓取工具。其算法与数学的一个重要分支图论有着密切的联系。图论可以追溯到大数学家欧拉提出的“哥尼斯堡七桥问题”。图论中讨论的图是由一些节点和连接这些节点的线组成的。请你回答下列问题：
把一个矩形区域划分成n 个凸多边形区域（这些凸多边形区域除公共边外，没有公共部分）。已知构成这n 个凸多边形的顶点中，恰有 6 个顶点在矩形内，12 个顶点在矩形的边界上（含矩形的顶点）；同时，任何三个顶点不共线（除矩形边界上的顶点共线外）。若围成这n 个凸多边形的线段中，恰有 18 条线段在矩形区域内，则这 n 个凸多边形中四边形个数的最大值为 。
10
三．解答题（共 4 题，每小题 20 分，共 80 分）
1 2
11．已知二次函数 y = 2x2 - 4bx + c 的图像交 x 轴于 A(x ，0) 、 B(x ，0) 两点，且 x2 + x1


= 26 。

3
x1 x2 5
若函数 y = 2x2 - 4bx + c 在b +1 £ x £ b + 3 上的最小值为-6 ，求b ， c 的值。
12．如图，在圆内接四边形 ABCD 中， AB = AD ， M 是 BC 边的中点，点 N 在对角线 BD 上，且满足ÐBAN = ÐCAM 。
求证： MN∥AC 。
9
13．已知关于 x 的方程 x2 - kx - k + 9999 = 0 的两根都是素数，求k 的值。
14．一个由36个单位小方格组成的6 ´ 6 的方格表中的n 个小方格被染成了红色，使得任意两个红色小方格的中心之间的距离大于 2，求n 的最大值。
5
一．选择题
2. B 3. D 4. B 5. C
3
二．填空题
6
8.
三．解答题
9. 1346 10. 9
9
11.【解答】∵ 函数 y = 2x2 - 4bx + c 的图像交 x 轴于 A(x ，0) 、 B(x ，0) 两点，
1 2
∴ x ， x 是方程2x2 - 4bx + c = 0 的两个实根。
1 2
∴ x + x = 2b ， x x = c 。 ………………………… 5 分

1 2 1 2 2
9
x x x 2 + x 2
(x + x )2 - 2x x (x + x )2 26
9
又 2 + 1 = 1 2
= 1 2 1 2 = 1 2 - 2= ，
9
x1 x2
4b2 -

x1x2
26

x1x2
2
x1x2 5
9
∴ c 2 =
2
，10b
5
= 9c 。………………① ………………………… 10 分
9
∵ y = 2x2 - 4bx + c = 2(x - b)2 + c - 2b2 ，在b +1 £ x £ b + 3 上的最小值为-6 。
∴ x = b +1时， y = -6 。
9
∴ 2 + c - 2b2 = -6
…………② ………………………… 15 分
9
由①、②，解得c = 10 ， b = ±3 。
∴ b = ±3 ， c = 10 。 ………………………… 20 分
12.【解答】∵ AB = AD ，
∴ ÐADB = ÐABD 。
∴ ÐACM = ÐADB = ÐABD = ÐABN 。
又ÐCAM = ÐBAN ，
∴ △ABN ∽ △ACM 。
9
∴ AB = BN
………… ①。
9
AC CM
设 AC 、 BD 相交于点 E ，
…………………… 5 分
9
∵ ÐBAE = ÐCAB ， ÐABE = ÐACB 。
∴ △ABE ∽ △ACB 。
9

BC BE
∴ AB = BE 。………………… ②
AC CB
…………………… 10 分
又M 为 BC 边中点，
∴ CM = BM ，结合 ①，得 AB = BN = BN 。
AC CM BM
（第 12 题答题图）
结合 ②，得 BE = AB = BN ，
CB AC BM
∴
BM = BN 。
…………………… 15 分
∴ MN∥EC ，即MN∥AC 。 …………………… 20 分
13.【解答】设方程 x2 - kx - k + 9999 = 0 的两根分别为 p 、q ，
6
í
则由韦达定理，知ì
î
p + q = k
pq = -k + 9999

， pq + p + q = 9999 。
9
∴ ( p +1)(q +1) = 10000 = 2 4 ×54
………… ① …………………… 5 分
9
显然 p ， q 都不等于 2，因此， p ， q 都是奇数。
∴ p +1 × q +1 = 22 × 54 。 …………………… 10 分
2 2
若 p +1 ， q +1中有一个数为奇数，不妨设 p +1 为奇数，则
2 2 2
p +1 = 5m ，其中m = 1，2，3，4。
2
当m = 1时， p = 9，不是素数，舍去； 当m = 2 时， p = 49 ，不是素数，舍去； 当m = 3 时， p = 249 ，不是素数，舍去。
当m = 4 时， p = 1249 是素数。此时， q +1 = 22 ， q = 7 ，也是素数。
2
∴ p = 1249 ， q = 7 ， k = p + q = 1256 ，符合要求。 …………………… 15 分
若 p +1 ， q +1都是偶数，则 p +1 × q +1 = 54 ，不妨设 p £ q ，则
2 2 4 4
当 p +1 = 50 ， q +1 = 54 时， p = 3， q = 2499 ， q 不是素数，舍去；
4 4
9
当 p +1 = 51 ， q +1 = 53 时， p = 19 ， q = 499 ， p ， q 都是素数；
4 4
当 p +1 = 52 ， q +1 = 52 时， p = 99 ， q = 99 ， p ， q 都不是素数，舍去；
4 4
∴ p = 19 ， q = 499 ， k = p + q = 518，符合要求。
综上所述， k = 518 ，或k = 1256 。 …………………… 20 分
10
14.【解答】n 的最大值为8 。
先考虑一个3´ 3 的方格表，其中有k 个小方格被染成了红色，使得任意两个红色小方格的中心之间的距离大于 2，由枚举可以知道， k 的最大值为 2。 ………………… 10 分
并且只有如下图所示的两种情况（包括对称的情形）。
将一个6 ´ 6 的方格表分成 4 个3´ 3 的方格表，由于每个3´ 3 的方格表中至多有 2 个红色小方格，于是n £ 2 ´ 4 = 8。 ………………………… 15 分
另一方面，如下图所示的染色恰有 8 个红色小方格，并且任意两个红色小方格的中心之间的距离大于 2。
综上所述， n 的最大值为8 。 ………………………… 20 分
8
11
12