2022届高考数学一轮复习第一部分考点通关练鸭内容考点测试68坐标系与参数方程含解析新人教B版.doc

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考点测试68　坐标系与参数方程
高考概览
本考点是高考必考知识点，题型为解答题，分值10分，中等难度
考纲研读
1．了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况
2．了解极坐标的根本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化
3．能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程
4．了解参数方程，了解参数的意义
5．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程
一、根底小题
1．参数方程为(0≤t≤5)的曲线为(　　)
A．线段 B．双曲线的一支
C．圆弧 D．射线
答案　A
解析　化为普通方程为x＝3(y＋1)＋2，即x－3y－5＝0，由于x＝3t2＋2∈[2,77]，故曲线为线段．应选A．
2．直线(t为参数)的倾斜角为(　　)
A．30° B．60°
C．90° D．135°
答案　D
解析　将直线参数方程化为普通方程为x＋y－1＝0，其斜率k＝－1，故倾斜角为135°.应选D．
3．在极坐标系中，过点作圆ρ＝4sinθ的切线，那么切线的极坐标方程是(　　)
A．ρsinθ＝2 B．ρcosθ＝2
C．ρsin＝2 D．ρcos＝2
答案　B
解析　ρ＝4sinθ的直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，而点化为直角坐标是(2,2)，过(2,2)作圆的切线，其方程为x＝2，即ρcosθ＝．
4．在极坐标系中，过圆ρ＝6cosθ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为________．
答案　ρcosθ＝3
解析　把ρ＝6cosθ两边同乘ρ，得ρ2＝6ρcosθ，所以圆的普通方程为x2＋y2－6x＝0，即(x－3)2＋y2＝9，圆心为(3,0)，故所求直线的极坐标方程为ρcosθ＝3.
5．在极坐标系中，直线ρsin＝2被圆ρ＝4所截得的弦长为________．
答案　4
解析　分别将直线与圆的极坐标方程化成直角坐标方程为x＋y－2＝0，x2＋y2＝16，那么圆心O到直线x＋y－2＝0的距离d＝＝2，半弦长为＝2，所以弦长为4.
6．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ(cosθ＋sinθ)＝－2，曲线C2的参数方程为(t为参数)，那么C1与C2交点的直角坐标为________．
答案　(2，－4)
解析　曲线C1的直角坐标方程为x＋y＝－2，曲线C2的普通方程为y2＝8x，由得所以C1与C2交点的直角坐标为(2，－4)．
二、高考小题
7．(2022·北京高考)直线l的参数方程为(t为参数)，那么点(1,0)到直线l的距离是(　　)
A． B．
C． D．
答案　D
解析　由题意可知直线l的普通方程为4x－3y＋2＝0，由点到直线的距离公式可得点(1,0)到直线l的距离d＝＝.应选D．
8．(2022·天津高考)设a∈R，直线ax－y＋2＝0和圆(θ为参数)相切，那么a的值为________．
答案　
解析　把圆的参数方程化为标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为(2,1)，半径为r＝－y＋2＝0，且直线与圆相切，所以圆心到直线的距离d＝＝2，所以
a＝.
9．(2022·北京高考)在极坐标系中，直线ρcosθ＋ρsinθ＝a(a>0)与圆ρ＝2cosθ相切，那么a＝________.
答案　1＋
解析　由可将直线ρcosθ＋ρsinθ＝a化为x＋y－a＝0，将ρ＝2cosθ，即ρ2＝2ρcosθ化为x2＋y2＝2x，整理成标准方程为(x－1)2＋y2＝，∴圆心(1,0)到直线x＋y－a＝0的距离d＝＝1，解得a＝1±，∵a>0，∴a＝1＋.
10．(2022·天津高考)圆x2＋y2－2x＝0的圆心为C，直线(t为参数)与该圆相交于A，B两点，那么△ABC的面积为________．
答案　
解析　由题意可得圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，直线的直角坐标方程为x＋y－2＝0，那么圆心到直线的距离d＝＝，由弦长公式可得|AB|＝2×＝，那么S△ABC＝××＝.
11．(2022·北京高考)在极坐标系中，点A在圆ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0上，点P的坐标为(1,0)，那么|AP|的最小值为________．
答案　1
解析　由ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得x2＋y2－2x－4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y－2)2＝1，圆心坐标为C(1,2)，半径长为1.∵点P的坐标为(1,0)，∴点P在圆C外．又点A在圆C上，∴|AP|min＝|PC|－1＝2－1＝1.
12．(2022·天津高考)在极坐标系中，直线4ρcos＋1＝0与圆ρ＝2sinθ的公共点的个数为________．
答案　2
解析　由4ρcos＋1＝0得2ρcosθ＋2ρsinθ＋1＝0，故直线的直角坐标方程为2x＋2y＋1＝＝2sinθ得ρ2＝2ρsinθ，故圆的直角坐标方程为x2＋y2＝2y，即x2＋(y－1)2＝(0,1)，半径为1.∵圆心到直线2x＋2y＋1＝0的距离d＝＝＜1，∴直线与圆相交，有两个公共点．
一、高考大题
1．(2022·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ＋ρsinθ＋11＝0.
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)求C上的点到l距离的最小值．
解　(1)因为－1<≤1，
且x2＋2＝2＋＝1，
所以C的直角坐标方程为x2＋＝1(x≠－1)，
l的直角坐标方程为2x＋y＋11＝0.
(2)由(1)可设C的参数方程为(α为参数，－π<α<π)．
C上的点到l的距离为
＝.
当α＝－时，4cos＋11取得最小值7，
故C上的点到l距离的最小值为.
2．(2022·全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C：ρ＝4sinθ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.
(1)当θ0＝时，求ρ0及l的极坐标方程；
(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．
解　(1)因为M(ρ0，θ0)在曲线C上，
当θ0＝时，ρ0＝4sin＝2.
由得|OP|＝|OA|cos＝2.
设Q(ρ，θ)为l上除P外的任意一点．
在Rt△OPQ中，ρcos＝|OP|＝2.
经检验，点P在曲线ρcos＝2上，
所以l的极坐标方程为ρcos＝2.
(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cosθ＝4cosθ，即ρ＝4cosθ.
因为P在线段OM上，且AP⊥OM，
所以θ的取值范围是.
所以P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cosθ，θ∈.
3．(2022·全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B，C，D(2，π)，弧，，所在圆的圆心分别是(1,0)，，(1，π)，曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧.
(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；
(2)曲线M由M1，M2，M3构成，假设点P在M上，且|OP|＝，求P的极坐标．
解　(1)由题设可得，弧，，所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cosθ，ρ＝2sinθ，ρ＝－2cosθ，
所以M1的极坐标方程为ρ＝2cosθ，
M2的极坐标方程为ρ＝2sinθ，
M3的极坐标方程为ρ＝－2cosθ.
(2)设P(ρ，θ)，由题设及(1)知
假设0≤θ≤，那么2cosθ＝，解得θ＝；
假设≤θ≤，那么2sinθ＝，解得θ＝或θ＝；
假设≤θ≤π，那么－2cosθ＝，解得θ＝.
综上，P的极坐标为或或或.
4．(2022·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcosθ－3＝0.
(1)求C2的直角坐标方程；
(2)假设C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．
解　(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4.
(2)由(1)知C2是圆心为A(－1,0)，半径为2的圆．
由题设，知C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线，曲线C1的方程为y＝记y轴右边的射线为l1，，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．
当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝－
eq \f(4,3)或k＝0.
经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝－时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．
当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝0或k＝.
经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝时，l2与C2没有公共点.
综上，所求C1的方程为y＝－|x|＋2.
5．(2022·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)假设曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．
解　(1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1.
当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y＝tanα·x＋2－tanα，当cosα＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.
(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0.①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，那么t1＋t2＝0.
又由①得t1＋t2＝－，故2cosα＋sinα＝0，于是直线l的斜率k＝tanα＝－2.
6．(2022·全面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．
(1)求α的取值范围；
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．
解　(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.
当α＝时，l与⊙O交于两点．
当α≠时，记tanα＝k，那么l的方程为y＝kx－.
l与⊙O交于两点当且仅当||<1，解得k<－1或k>1，
即α∈或α∈.
综上，α的取值范围是.
(2)l的参数方程为.
设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，那么tP＝，且tA，tB满足t2－2tsinα＋1＝0.
于是tA＋tB＝2sinα，tP＝sinα.
又点P的坐标(x，y)满足
所以点P的轨迹的参数方程是
.
二、模拟大题
7．(2022·山东郓城三模)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点M的极坐标为，直线l的极坐标方程为ρsin＋2＝0.
(1)求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；
(2)假设N是曲线C上的动点，P为线段MN的中点，求点P到直线l的距离的最大值．
解　(1)因为直线l的极坐标方程为ρsin＋2＝0，即ρsinθ－ρcosθ＋4＝0.
由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
可得直线l的直角坐标方程为x－y－4＝0.
将曲线C的参数方程消去参数α，
得曲线C的普通方程为＋y2＝1.
(2)设N(cosα，sinα)，α∈[0,2π)．
点M的极坐标为，化为直角坐标为(－2,2)．
那么P.
所以点P到直线l的距离
d＝＝≤，
所以当α＝时，点P到直线l的距离的最大值为.
8．(2022·武汉二诊)在直角坐标系xOy中，抛物线C的方程为y2＝2px(p>0)，以点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρsin＝，l与x轴交于点M.
(1)求l的直角坐标方程，点M的极坐标；
(2)设l与C相交于A，B两点，假设|MA|，|AB|，|MB|成等比数列，求p的值．
解　(1)由2ρsin＝，
得ρsinθ－ρcosθ＝，将ρsinθ＝y，ρcosθ＝x代入，得y＝x＋，
∴l的直角坐标方程为y＝x＋.
令y＝0得点M的直角坐标为(－1,0)，
∴点M的极坐标为(1，π)．
(2)由(1)知l的倾斜角为，
参数方程为(t为参数)，代入y2＝2px，
得3t2－4pt＋8p＝0，
∴t1＋t2＝，t1t2＝.
∵|AB|2＝|MB|·|MA|，
∴(t1－t2)2＝t1t2，
∴(t1＋t2)2＝5t1t2.
∴2＝5×，
∴p＝.
9．(2022·湖南七校联考)在极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcos＝，曲线C的极坐标方程为ρ(1－cos2θ)－2cosθ＝0，以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．
(1)写出直线l和曲线C的直角坐标方程；
(2)假设直线l′：y＝(x－2)与曲线C交于P，Q两点，M(2,0)，求|MP|2＋|MQ|2的值．
解　(1)因为直线l：ρcos＝，
故ρcosθ－ρsinθ－＋1＝0，
即直线l的直角坐标方程为x－y－＋1＝0；
因为曲线C：ρ(1－cos2θ)－2cosθ＝0，那么曲线C的直角坐标方程为y2＝2x.
(2)设直线l′的参数方程为(t为参数)．
将其代入曲线C的直角坐标方程得3t2－4t－16＝0，
设P，Q对应的参数分别为t1，t2，那么
t1t2＝－，t1＋t2＝，
所以|MP|2＋|MQ|2＝|t1|2＋|t2|2＝(t1＋t2)2－2t1t2＝.
10．(2022·安阳模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin＝2.
(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)射线OP的极坐标方程为θ＝，假设射线OP与曲线C的交点为A，与直线l的交点为B，求线段AB的长．
解　(1)由可得
所以x2＋(y－1)2＝3cos2θ＋3sin2θ＝3，所以曲线C的普通方程为x2＋(y－1)2＝3.
由ρsin＝2，
可得ρ＝2，
所以ρsinθ＋ρcosθ－2＝0，
所以直线l的直角坐标方程为x＋y－4＝0.
(2)解法一：曲线C的方程可化为x2＋y2－2y－2＝0，
所以曲线C的极坐标方程为ρ2－2ρsinθ－2＝0.
由题意设A，B，
将θ＝代入ρ2－2ρsinθ－2＝0，可得ρ－ρ1－2＝0，
所以ρ1＝2或ρ1＝－1(舍去)，
将θ＝代入ρsin＝2，可得ρ2＝4，
所以|AB|＝|ρ1－ρ2|＝2.
解法二：因为射线OP的极坐标方程为θ＝，
所以射线OP的直角坐标方程为y＝x(x≥0)，
由解得A(，1)，
由解得B(2，2)，
所以|AB|＝ ＝2.
11．(2022·石家庄模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为θ＝.
(1)求曲线C的极坐标方程；
(2)当0<r<2时，假设曲线C与射线l交于A，B两点，求＋的取值范围．
解　(1)由题意知曲线C的普通方程为(x－2)2＋y2＝r2，
令x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
化简得曲线C的极坐标方程为ρ2－4ρcosθ＋4－r2＝0.
(2)解法一：把θ＝代入曲线C的极坐标方程，得ρ2－2ρ＋4－r2＝0.
令Δ＝4－4(4－r2)>0，结合0<r<2，得3<r2<4.
方程的解ρ1，ρ2分别为点A，B的极径，ρ1＋ρ2＝2，
ρ1ρ2＝4－r2>0，
∴＋＝＋＝＝.
∵3<r2<4，∴0<4－r2<1，
∴＋∈(2，＋∞)．
解法二：射线l的参数方程为(t为参数，t≥0)，将其代入曲线C的方程(x－2)2＋y2＝r2，得
t2－2t＋4－r2＝0，
令Δ＝4－4(4－r2)>0，结合0<r<2，得3<r2<4，
方程的解t1，t2分别为点A，B对应的参数，t1＋t2＝2，t1t2＝4－r2，t1>0，t2>0，
∴＋＝＋＝＝.
∵3<r2<4，∴0<4－r2<1，
∴＋∈(2，＋∞)．