2022版高考数学一轮复习核心素养测评五十二抛物线苏教版.doc

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核心素养测评五十二 抛物线
(30分钟　60分)
一、选择题(每题5分,共25分)
1.(2022·丹东模拟)经过抛物线y2=12x的焦点F,作圆(x-1)2+(y-2)2=8的切线l,那么l的方程为 (　　)
+y-3=0　 +y-3=0或x=3　
-y-3=0　 -y-3=0或x=3
【解析】=12x的焦点F(3,0),圆的圆心为(1,2),圆的半径为22,
设切线l的方程为x=my+3,那么(1,2)到切线l的距离d=|1-2m-3|1+m2=22,
解得m=-y-3=0.
=4x的焦点为F,准线为l,点P为抛物线上一点,且在第一象限,
PA⊥l,垂足为A,|PF|=3,那么直线AF的斜率为 (　　)
　 B.-2　 　 D.-3
【解析】,抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),
由|PF|=3,得|PA|=3,那么xP=2,代入y2=4x,得
yP=
A(-1,22),所以kAF=22-2=-2.
3.(多项选择)(2022·青岛模拟)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线l的斜率为3且经过点F,直线l与抛物线C交于点A,B两点(点A在第一象限)、与抛物线的准线交于点D,假设|AF|=4,那么以下结论正确的选项是 (　　)
=2 　　　
C.|BD|=2|BF| 　　　 D.|BF|=2
【解析】,
Fp2,0,直线l的斜率为3,那么直线方程为y=3x-p2,
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联立y2=2px,y=3x-p2,得12x2-20px+3p2=0.
解得:xA=32p,xB=16p,
由|AF|=32p+p2=2p=4,得p=2.
所以抛物线方程为y2=4x.
xB=16p=13,那么|BF|=13+1=43;
|BD|=|xB-xD|cos60°=p6+p212=23p12=83,
所以|BD|=2|BF|,
|BD|+|BF|=43+83=4,那么F为AD中点.
所以结论正确的选项是A,B,C.
4.(2022·泰州模拟)点F是抛物线x2=4y的焦点,点P为抛物线上的任意一点,M(1,2)为平面上一点,那么|PM|+|PF|的最小值为 (　　)
　 　 　
【解析】=4y,即p=2,故焦点F(0,1),准线方程y=-1,过P作PA垂直于准线,垂足为A,过M作MA0垂直于准线,垂足为A0,交抛物线于P0,那么|PM|+|PF|=|PA|+|PM|≥|A0M|=3(当且仅当P与P0重合时取等号).
=4x在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,假设|PM|=4,设抛物线的焦点为F,那么直线PF的斜率为 (　　)

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【解析】(x0,y0),依题意可知抛物线准线x=-1,所以x0=4-1=3,所以y0=23,所以P(3,23),F(1,0).所以直线PF的斜率为k=233-1=3.
二、填空题(每题5分,共15分)
(-3,3),过点M(3,0)作直线,与抛物线y2=4x相交于A,B两点,设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,那么k1+k2=________. 
【解析】设过点M的直线为x=my+3,联立抛物线方程可得y2-4my-12=0,设Ay124,y1,
By224,y2,可得y1+y2=4m,y1y2=-12,那么k1+k2
=y1-3y124+3+y2-3y224+3=4y1-1212+y12+4y2-1212+y22
=4y1-1212+y12+-48y1-1212+144y12
=4y1-1212+y12+-4y1-y1212+y12=-1.
答案:-1
:y2=2x的焦点坐标是________,经过点P(4,1)的直线l与抛物线C相交于A,B两点,且点P恰为AB的中点,F为抛物线的焦点,那么||+||=________. 
【解析】由抛物线C:y2=2x,得2p=2,p=1,那么p2=12,
所以抛物线的焦点F12,0.
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过A作AM⊥准线,BN⊥准线,PK⊥准线,M、N、K分别为垂足,
那么由抛物线的定义可得|AM|+|BN|=|AF|+|BF|.
再根据P为线段AB的中点,有12(|AM|+|BN|)=|PK|=92,
所以|AF|+|BF|=9,
答案:12,0　9
8.(2022·保定模拟)抛物线y2=2px(p>0)经过点M(1,2),直线l与抛物线交于相异两点A,B,假设△MAB的内切圆圆心为(1,t),那么直线l的斜率为________.  
【解析】将点M(1,2)代入y2=2px,可得p=2,
所以抛物线方程为y2=4x,
由题意知,直线l斜率存在且不为0,
设直线l的方程为x=my+n(m≠0),
代入y2=4x,得y2-4my-4n=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
那么y1+y2=4m,y1y2=-4n,
又由△MAB的内切圆圆心为(1,t),
可得kMA+kMB=y1-2x1-1+y2-2x2-1
=y1-2y124-1+y2-2y224-1=0,整理得y1+y2+4=4m+4=0,解得m=-1,从而l的方程为y=-x+n,所以直线l的斜率为-1.
答案:-1
三、解答题(每题10分,共20分)
=m(y+2)+5,该直线交抛物线C:y2=4x于P,Q两个不同的点.
(1)假设点A(5,-2)为线段PQ的中点,求直线l的方程.
(2)证明:以线段PQ为直径的圆M恒过点B(1,2).
【解析】(1)设P(x1,y1),Q(x2,y2),
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联立x=my+(2m+5)y2=4x,消去x得
y2-4my-4(2m+5)=0,所以y1+y2=4m,y1y2=-8m-20,
因为A为线段PQ的中点,
所以y1+y22=2m=-2,解得m=-1,
所以直线l的方程为x+y-3=0.
(2)因为x1+x2=m(y1+y2)+2(2m+5)=4m2+4m+10,x1x2=y124·y224=(y1y2)216=(2m+5)2,
所以BP·BQ=(x1-1)(x2-1)+(y1-2)(y2-2),
即BP·BQ=[x1x2-(x1+x2)+1]+[y1y2-2(y1+y2)+4],
所以BP·BQ=[(2m+5)2-(4m2+4m+10)+1]+[-8m-20-2(4m)+4] =0,
所以BP⊥BQ,即以线段PQ为直径的圆恒过点B(1,2).
(15分钟　35分)
1.(5分)设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是2,那么点P到该抛物线焦点的距离是 (　　)
　 　 　
【解析】=8x,那么抛物线的准线方程为x=-2.
又因为点P到y轴的距离是2,那么点P到准线的距离为4,根据抛物线的定义可得:点P到该抛物线焦点的距离是4.
2.(5分)抛物线y=14x2上一点M到x轴的距离为d1,到直线x3-y4=1的距离为d2,那么d1+d2的最小值为 (　　)

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【解析】=4y的准线的距离为d1+1等于M到抛物线x2=4y的焦点的距离|MF|,那么d1+d2+1的最小值即为焦点F到直线x3-y4=(0,1),所以(d1+d2)min=155-1=2.
【变式备选】
抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,假设FP=2QF,那么|QF|= (　　)
　　　 　　　 　　　
【解析】,那么|QF|=d,因为FP=2QF,所以|PQ|=3d,
所以直线PF的斜率为±22,因为F(1,0),
所以直线PF的方程为y=±22(x-1),
与y2=4x联立可得x=2(另一根舍去),
所以|QF|=d=1+2=3.
3.(5分)(2022·葫芦岛模拟)抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F分别作两条直线l1,l2,直线l1与抛物线C交于A,B两点,直线l2与抛物线C交于M,N点,假设l1与直线l2的斜率的乘积为-1,那么|AB|+|MN|的最小值为 (　　)
　 　 　
【解析】(1,0),又可知l1,l2的斜率都存在.
设直线l1的方程为y=k(x-1),将其代入y2=4x可得:k2x2-(2k2+4)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x3,y3),N(x4,y4),所以|AB|=x1+x2+p=2k2+4k2+2=4+4k2,
因为l1与l2的斜率的乘积为-1,所以l2的斜率为-1k,
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同理可得|MN|=x3+x4+p=2-1k2+4-1k2+2=4+4k2,
所以|AB|+|MN|=4+4k2+4+4k2=8+4k2+4k2≥8+24k2×4k2==±1时取等号.
4.(10分)点M为直线l1:x=-1上的动点,N1,0,过M作直线l1的垂线l,l交MN的中垂线于点P,记点P的轨迹为C.
(1)求曲线C的方程.
(2)假设直线l2:y=kx+mk≠0与圆E:x-32+y2=6相切于点D,与曲线C交于A,B两点,且D为线段AB的中点,求直线l2的方程.
【解析】(1)由可得,PN=PM,即点P到定点N的距离等于它到直线l1的距离,
故点P的轨迹是以N为焦点,l1为准线的抛物线,
所以曲线C的方程为y2=4x.
(2)设Ax1,y1,Bx2,y2,Dx0,y0,
由y=kx+m,y2=4x得k2x2+2km-4x+m2=0,
所以x1+x2=4-2kmk2,
所以x0=x1+x22=2-kmk2,y0=kx0+m=2k,
即D2-kmk2,2k,
因为直线l2与圆E:x-32+y2=6相切于点D,
又圆心E(3,0),所以DE2=6,且DE⊥l2,
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从而2-kmk2-32+2k2=6,kDE·kl2=-1,
即:2-kmk2-3=-22-kmk2-32+2k2=6,
整理可得2k2=2,即k=±2,
所以m=0,
故直线l2的方程为y=2x或y=-2x.
5.(10分)(2022·连云港模拟)抛物线E:y2=8x,直线l:y=kx-4.
(1)假设直线l与抛物线E相切,求直线l的方程.
(2)设Q(4,0),k>0,直线l与抛物线E交于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),假设存在点C,使得四边形OACB为平行四边形(O为原点),且AC⊥QC,求x2的取值范围.
【解析】(1)根据题意,抛物线E:y2=8x,直线l:y=kx-4,联立可得y=kx-4,y2=8x,
整理可得k2x2-8(k+1)x+16=0,
假设直线l与抛物线E相切,那么k≠0且Δ=64(k+1)2-64k2=0,可得k=-12,
所以,所求的直线方程为y=-12x-4.
(2)根据题意,联立直线与抛物线的方程,有y=kx-4,y2=8x,可得k2x2-8(k+1)x+16=0,
因为k>0,
所以Δ=64(k+1)2-64k2>0,
那么有x1+x2=8(k+1)k2,
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所以y1+y2=k(x1+x2)-8=8k,
因为四边形OACB为平行四边形,
那么OC=OA+OB
=(x1+x2,y1+y2)=8(k+1)k2,8k,
即C8(k+1)k2,8k,
因为AC⊥QC,那么kAC·kQC=-1.
又kQC=8k8(k+1)k2-4=2k2(k+1)-k2,
又kAC=kOB=y2x2=k-4x2,所以2k2(k+1)-k2·k-4x2=-1,所以8x2=k+2k+2,
又由k>0,那么8x2=k+2k+2≥22+2=2(2+1),当且仅当k=2时等号成立,
此时0<x2≤4(2-1).
故x2的取值范围为(0,4(2-1)].
:y2=4x的焦点为F,P为抛物线C上一动点,M(3,2),那么△PMF的周长最小值为 (　　)
　 +22+13　
+22　 +22
【解析】,抛物线C:y2=4x的焦点为
F(1,0),准线方程为x=-1.
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过M作准线的垂线,交抛物线于P,那么△+(3-1)2+(2-0)2=4+22.
,抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P为C上一点,PQ垂直l于点Q,M,N分别为PQ,PF的中点,直线MN与x轴交于点R,假设∠NFR=60°,那么|NR|= (　　)

【解析】,如下图:连接MF,QF,
抛物线的方程为y2=4x,其焦点为F(1,0),
准线为x=-1,
那么|FH|=2,
由抛物线定义可得|PF|=|PQ|,
由PQ⊥l,得:PQ∥FR,
所以∠QPF=∠NFR,
又∠NFR=60°,所以∠QPF=60°,
所以△PQF为等边三角形,
由M,N分别为PQ,PF的中点,
得|MN|=12|QF|,MN∥QF,且MF⊥PQ,
又QH⊥PQ,QM∥HF,
故四边形HFMQ为矩形,故|QM|=|HF|=2,
又在Rt△QMF中,|QF|=|QM|cos∠MQF=2cos60°=4,故|MN|=12|QF|=2,
又PQ∥RF,|PN|=|NF|,所以|NR|=|MN|=2.