§5.2-平面向量的数量积及平面向量的应用(试题部分).docx

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探考情 悟真题
【考情探究】
考点
内容解读
5年考情
预测热度
考题示例
考向
关联考点
平面向量
的数量积
①理解平面向量数量积的含义及其物理意义;②掌握向量夹角概念及其范围,掌握向量长度的表示;③了解平面向量的数量积与向量投影的关系;④掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;⑤理解数量积的性质,并能运用
2018课标全面向量的数量积
向量的模
★★★
2015课标Ⅱ,4,5分
平面向量的数量积
—
平面向量
数量积
的应用
①能运用数量积解决两向量的夹角问题和长度问题;②会用数量积判断两个向量的平行、垂直关系;③会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与一些实际问题
2017课标全国Ⅰ,13,5分
两向量垂直的充要条件
坐标运算
★★☆
2019课标全面向量的夹角
向量的模
2019课标全面向量的夹角
平面向量的坐标运算
分析解读
从近几年的高考试题来看,高考对本节内容的考查以选择题和填空题为主,考查平面向量的数量积及其几何意义以及坐标表示,用以解决有关长度、角度、垂直、判断三角形形状等问题;考查形式除小题之外,还可能与函数、解析几何等知识综合在一起以解答题的形式出现,主要考查学生的审题能力和知识迁移能力,难度适中.
破考点 练考向
【考点集训】
考点一　平面向量的数量积
1.(2020届宁夏银川一中9月月考,5)已知向量a,b的夹角为锐角,|a|=3,|b|=11,且a与a-b夹角的余弦值为33,则a·b等于(　　)

答案　B　
2.(2018天津,8,5分)在如图的平面图形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,BM=2MA,CN=2NA,则BC·OM的值为(　　)
A.-15 B.-9 C.-6
答案　C　
,B,C满足|AB|=3,|BC|=4,|CA|=5,则AB·BC+BC·CA+CA·AB的值为　　　　. 
答案　-25
考点二　平面向量数量积的应用
1.(2020届安徽A10联盟摸底考试,6)在△ABC中,D为边BC的中点,且AD·CD=5,AB=6,则AC=(　　)

答案　C　
2.(2020届湖北汉阳模拟,8)若M为△ABC所在平面内一点,且满足(MB-MC)·(MB+MC-2MA)=0,则△ABC为(　　)


答案　B　
3.(2019广东普宁一中月考,14)已知|OA|=2,|OB|=4,OA·OB=4,则以向量OA,OB为邻边的平行四边形的面积为　　　　. 
答案　43
4.(2019广东深圳外国语中学模拟,17)设向量a=(4cos α,sin α),b=(sin β,4cos β),c=(cos β,-4sin β).
(1)若a与b-2c垂直,求tan(α+β)的值;
(2)求|b+c|的最大值.
答案　(1)b-2c=(sin β-2cos β,4cos β+8sin β).
∵a与b-2c垂直,
∴a·(b-2c)=4cos αsin β-8cos αcos β+4sin αcos β+8sin α·sin β=4sin(α+β)-8cos(α+β)=0,
∴tan(α+β)=2.
(2)由b+c=(sin β+cos β,4cos β-4sin β),得|b+c|=(sinβ+cosβ)2+(4cosβ-4sinβ)2=17-15sin2β≤42,
当且仅当sin 2β=-1,即β=kπ-π4(k∈Z)时,等号成立,
所以|b+c|的最大值为42.
炼技法 提能力
【方法集训】
方法1　平面向量的模的求解方法
1.(2019湖南湖北八市十二校第一次调研,2)已知向量a=(x,y),b=(-1,2),且a+b=(1,3),则|a-2b|等于(　　)

答案　D　
2.(2020届河南十所名校9月联考,10)若a,b,c均为单位向量,且a·b=0,(a-c)·(b-c)≤0,则|a+b-c|的最大值为(　　)
-1
答案　B　
方法2　平面向量夹角的求解方法
、j分别是与x轴、y轴方向相同的单位向量,a=i-2j,b=i+λj,且a、b的夹角为锐角,则实数λ的取值范围是(　　)
A.-∞,12 ,+∞
C.-2,23∪23,+∞ D.(-∞,-2)∪-2,12
答案　D　
2.(2019课标全国Ⅲ,13,5分)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),则cos<a,b>=　　　　. 
答案　-210
,b满足|a+b|=|a-b|=233|a|,则向量a+b与a-b的夹角为　　　　. 
答案　π3
方法3　用向量法解决平面几何问题
1.(2018四川成都七中期中)在△ABC中,BC=5,G,O分别为△ABC的重心和外心,且OG·BC=5,则△ABC的形状是(　　)


答案　B　
2.(2020届黑龙江牡丹江调研考试,14)在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,AB=(2,4),AC=(1,3),则|BD|=　　　　. 
答案　34
3.(2020届湖南长沙一中月考,14)在平行四边形ABCD中,∠BAD=60°,E是CD上一点,且AE=12AB+BC,|AB|=λ|AD|,若AC·EB=12AD2,则λ=　　　　. 
答案　2
【五年高考】
A组　统一命题·课标卷题组
考点一　平面向量的数量积
1.(2018课标全国Ⅱ,4,5分)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=(　　)

答案　B　
2.(2015课标Ⅱ,4,5分)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=(　　)
A.-1
答案　C　
考点二　平面向量数量积的应用
1.(2019课标全国Ⅰ,8,5分)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为(　　)

答案　B　
2.(2017课标全国Ⅰ,13,5分)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b与a垂直,则m=　　　　. 
答案　7
B组　自主命题·省(区、市)卷题组
考点一　平面向量的数量积
1.(2016天津,7,5分)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则AF·BC的值为(　　)
A.-58
答案　B　
2.(2018上海,8,5分)在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0)、B(2,0),E、F是y轴上的两个动点,且|EF|=2,则AE·BF的最小值为　　　　. 
答案　-3
考点二　平面向量数量积的应用
1.(2019北京,9,5分)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且a⊥b,则m=　　　　. 
答案　8
2.(2016北京,9,5分)已知向量a=(1,3),b=(3,1),则a与b夹角的大小为　　　　. 
答案　π6
3.(2017北京,12,5分)已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则AO·AP的最大值为　　　　. 
答案　6
4.(2019天津,14,5分)在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=23,AD=5,∠A=30°,点E在线段CB的延长线上,且AE=BE,则BD·AE=　　　　. 
答案　-1
5.(2017天津,14,5分)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC==2DC,AE=λAC-AB(λ∈R),且AD·AE=-4,则λ的值为　　　　. 
答案　311
6.(2019江苏,12,5分)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,·AC=6AO·EC,则ABAC的值是　　　　. 
答案　3
C组　教师专用题组
考点一　平面向量的数量积
1.(2014课标Ⅱ,4,5分)设向量a,b满足|a+b|=10,|a-b|=6,则a·b=(　　)

答案　A　
2.(2017浙江,10,4分)如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,=OA·OB,I2=OB·OC,I3=OC·OD,则(　　)
<I2<I3 <I3<I2
<I1<I2 <I1<I3
答案　C　
3.(2010全国Ⅰ,11,5分)已知圆O的半径为1,PA,PB为该圆的两条切线,A,B为两切点,则PA·PB的最小值为(　　)
A.-4+2 B.-3+2
C.-4+22 D.-3+22
答案　D　
4.(2015湖北,11,5分)已知向量OA⊥AB,|OA|=3,则OA·OB=　　　　. 
答案　9
5.(2016江苏,13,5分)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,BA·CA=4,BF·CF=-1,则BE·CE的值是　　　　. 
答案　78
6.(2015天津,13,5分)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.点E和F分别在线段BC和DC上,且BE=23BC,DF=16DC,则AE·AF的值为　　　　. 
答案　2918
7.(2013课标Ⅱ,14,5分)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则AE·BD=　　　　. 
答案　2
考点二　平面向量数量积的应用
1.(2016课标全国Ⅲ,3,5分)已知向量BA=12,32,BC=32,12,则∠ABC=(　　)
° ° ° °
答案　A　
2.(2015重庆,7,5分)已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,且a⊥(2a+b),则a与b的夹角为(　　)

答案　C　
3.(2015陕西,8,5分)对任意平面向量a,b,下列关系式中不恒成立····的是(　　)
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
A.|a·b|≤|a||b| B.|a-b|≤||a|-|b||
C.(a+b)2=|a+b|2 D.(a+b)·(a-b)=a2-b2
答案　B　
4.(2018浙江,9,4分)已知a,b,e是平面向量,,向量b满足b2-4e·b+3=0,则|a-b|的最小值是(　　)
-1 +1 -3
答案　A　
5.(2018北京,9,5分)设向量a=(1,0),b=(-1,m).若a⊥(ma-b),则m=　　　　. 
答案　-1
6.(2017课标全国Ⅲ,13,5分)已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且a⊥b,则m=　　　　. 
答案　2
7.(2016课标全国Ⅰ,13,5分)设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,则x=　　　　. 
答案　-23
8.(2017江苏,12,5分)如图,在同一个平面内,向量OA,OB,OC的模分别为1,1,2,OA与OC的夹角为α,且tan α=7,OB与OC的夹角为45°.若OC=mOA+nOB(m,n∈R),则m+n=　　　　. 
答案　3
9.(2015浙江,13,4分)已知e1,e2是平面单位向量,且e1·e2=·e1=b·e2=1,则|b|=　　　　. 
答案　233
①a为单位向量;　　②b为单位向量;　　③a⊥b;
④b∥BC; ⑤(4a+b)⊥BC.
答案　①④⑤
11.(2013课标Ⅰ,13,5分)已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)·c=0,则t=　　　　. 
答案　2
12.(2012课标全国,15,5分)已知向量a,b夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=10,则|b|=　　　　. 
答案　32
【三年模拟】
时间:50分钟　分值:70分
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2020届山东夏季高考模拟,3)设向量a=(1,1),b=(-1,3),c=(2,1),且(a-λb)⊥c,则λ=(　　)
C.-2 D.-3
答案　A　
2.(2019辽宁葫芦岛调研,9)若向量OA=(1,-1),|OA|=|OB|,OA·OB=-1,则向量OA与OB-OA的夹角为(　　)

答案　D　
3.(2020届河南十所名校尖子生联考,7)已知非零向量a,b满足|a|=λ|b|,若a,b夹角的余弦值为1930,且(a-2b)⊥(3a+b),则实数λ的值为(　　)
A.-49 -49
答案　D　
4.(2019湖北武汉模拟,9)已知向量a,b满足|a|=4,b在a方向上的投影为-2,则|a-3b|的最小值为(　　)

答案　B　
5.(2020届湖南衡阳摸底考试,11)若在△ABC中,BC=1,其外接圆圆心O满足3AO=AB+AC,则AB·AC=(　　)

答案　A　
6.(2018安徽师大附中二模,7)在△ABC中,AB=2AC=6,BA·BC=BA2,点P是△ABC所在平面内一点,则当PA2+PB2+PC2取得最小值时,AP·BC=(　　)
B.-272 D.-9
答案　D　
7.(2020届安徽六安一中第一次月考,11)在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AB=4,M是边AB的中点,N是CM的中点,延长AN交BC于点D,则AD·AC=(　　)
A.-8 C.-9
答案　B　
8.(2019辽宁部分重点高中联考,11)平行四边形ABCD中,AB=2,AD=1,AB·AD=-1,点M在边CD上,则MA·MB的最大值为　(　　)
-1 -1
答案　A　
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2019河北衡水第二次调研,15)如图所示,|AB|=5,|AE|=5,AB·AE=0,且AB=2AD,AC=3AE,连接BE,CD交于点F,则|AF|=　　　　. 
答案　1455
10.(2020届江苏高邮摸底考试,12)如图,在△ABC中,AB=AC,BC=2,AD=DC,AE=12EB,若BD·AC=-12,则CE·AB=　　　　. 
答案　-43
三、解答题(共20分)
11.(2020届豫北六校对抗赛,17)已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a-b)=43.
(1)求a与b的夹角θ;
(2)求|a+b|;
(3)若(a-b)⊥(a+λb),求实数λ的值.
答案　(1)∵(2a-3b)·(2a-b)=4a2-8a·b+3b2=43,
|a|=4,|b|=3,
∴64-8×4×3cos θ+27=43,∴cos θ=12.
∵θ∈[0,π],∴θ=π3.
(2)由(1)得|a+b|=(a+b)2=a2+2a·b+b2=42+2×4×3×12+32=37.
(3)∵(a-b)⊥(a+λb),∴(a-b)·(a+λb)=0,
∴(a-b)·(a+λb)=a2+λa·b-a·b-λb2=0,即42+λ×4×3×12-4×3×12-9λ=0,
∴3λ=10,∴λ=103.
12.(2018河南中原名校联盟第四次测评,19)在△ABC中,满足AB⊥AC,M是BC的中点.
(1)若|AB|=|AC|,求向量AB+2AC与向量2AB+AC的夹角的余弦值;
(2)若O是线段AM上任意一点,且|AB|=|AC|=2,求OA·OB+OC·OA的最小值.
答案　(1)设向量AB+2AC与向量2AB+AC的夹角为θ,因为AB⊥AC,所以AB·AC=0,所以
cos θ=(AB+2AC)·(2AB+AC)|AB+2AC|·|2AB+AC|=2AB2+2AC2|AB+2AC|·|2AB+AC|,设|AB|=|AC|=a(a>0),则cos θ=2a2+2a25a·5a=45.(5分)
(2)∵|AB|=|AC|=2,∴|AM|=1,
设|OA|=x(0≤x≤1),则|OM|=1-x.(8分)
因为OB+OC=2OM,
所以OA·OB+OC·OA=OA·(OB+OC)=2OA·OM=2|OA|·|OM|cos π=2x2-2x=2x-122-12.
因为0≤x≤1,所以当且仅当x=12时,OA·OB+OC·OA取最小值-12.(12分)