《数学变式的策略与实践》第二篇--第2讲--函数与导数.docx

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【例 1】()函数 y =
x + 1 的定义域为 .
x
【解析】要使函数有意义，则 ì x + 1 ³ 0 ，解得 x ³ -1, x ¹ 0 .
î
í x ¹ 0
所以函数 y =
x + 1 的定义域为{x | x ³ -1, x ¹ 0}.
x
【点评】，列出使函数解析式有意义的不等式(组)，然后再解之，最后写成集合(或区间)的形式. 其基本的书写格式是：要使函数有意义，则必须满足……，故所求函数的定义域是…….
4 - x
该高考题的原型是：(A 版必修一第 24 页 1(4))求函数 f ( x) =
【解析】要使函数有意义，则 ì4 - x ³ 0 ，解得 x £ 4, x ¹ 1 .
î
í x - 1 ¹ 0

x - 1
的定义域.
4 - x
所以函数 f ( x) =

x - 1
的定义域为{x | x £ 4, x ¹ 1} .
【点评】上述高考题与该题如出一辙，体现了高考“源于课本” 函数涉及的都是分式和二次根式，函数的定义域是使分母不等于零的自变量的集合与被开方 数非负的自变量的集合的交集.
【变式 1】求函数 f ( x) =
+ 1
4 - x
x - 1
的定义域.
【点评】这一变式的求解过程与原题一致，其形式就是课本第 17 页例 1 的翻版.
4 - x
【变式 2】求函数 f ( x) = + ( x - 1) 0 的定义域.
【点评】该变式涉及到零指数幂，其底数是不能为 0 的，所以求解过程也与原题一致.
【变式 3】求函数 f ( x) =
1 + 1
4 - x
x - 1

的定义域.
【解析】要使函数有意义，则 ì4 - x > 0 ，解得 x < 4, x ¹ 1.
î
í x - 1 ¹ 0
所以函数 f ( x) =
1 + 1
4 - x
x - 1
的定义域为{x | x < 4, x ¹ 1} .
【点评】由于该变式的函数中二次根式出现在了分母，所以要注意求解时与变式 1 的差异.
4 - x
【变式 4】已知函数 f ( x) =

x - 1
，求函数 y =
f ( x + 2) 的定义域.
【解析】我们知道， f ( x) 的定义域是自变量 x 的取值范围，而 f ( x + 2) 中的 x 与 f ( x)
中的 x 不是同一个值，但 x + 2 作为一个整体时，如令t = x + 2 ，则 f ( x + 2) 变为 f (t ) ， 则t 的取值范围就是 f ( x) 中的 x 的取值范围.
4 - x
由原题知，函数 f ( x) =

x - 1
的定义域为{x | x £ 4, x ¹ 1} .
所以要使函数 y =
f ( x + 2) 有意义，则 ì x + 2 £ 4 ，解得 x < 2, x ¹ -1 .
î
í x + 2 ¹ 1
所以函数 y = f ( x + 2) 的定义域为{x | x < 2, x ¹ -1} .
【点评】本题是“已知 f ( x) 的定义域，求复合函数 f [ g ( x)] 的定义域”：若 f ( x) 的定义域为 D，则 f [ g ( x)] 的定义域是使 g ( x) Î D 有意义的 x 的集合.
4 - x
【变式 5】已知函数 f ( x + 2) =

x - 1
，求函数 y =
f ( x) 的定义域.
【解析】若令u = x + 2 ，则 f ( x + 2) 变为 f (u ) ，求 y =
中u 的取值范围.
f ( x) 的定义域也就是求 f (u )
4 - x
易求得 f ( x + 2) =

x - 1
的定义域为{x | x £ 4, x ¹ 1}.
所以 x + 2 £ 6, x + 2 ¹ 3 .
所以函数 y = f ( x) 的定义域为{x | x £ 6, x ¹ 3}.
【点评】本题是“已知复合函数 f [ g ( x)] 的定义域，求 f ( x) 的定义域”：若 f [ g ( x)]的定义域为 D，则 g ( x) 在 D 上的取值范围，即为 f ( x) 的定义域.
【感悟】求函数的定义域，应遵循以下原则：①如果 f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集 R；②如果 f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；③如果 f(x)为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于 0 的实数的集合；④ 零指数幂的底数不能为零；⑤若 f(x)是由几部分数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；⑥对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知 f(x) 的定义域为[a，b]，其复合函数 f[g(x)]的定义域应由不等式 a≤g(x)≤b 解出；⑦由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义.
【例 2】()已知函数 f (x) 为奇函数，且当 x > 0时， f (x) = x 2 + 1 ，则
x
f (-1) = ( )
D.-2
【 解 析 】 因 为 函 数
f (x) 为 奇 函 数 ， 且 当
x > 0 时 ，
f (x) = x 2 + 1
x

， 所 以
f (-1) = - f (1) = -1 - 1 = -2 ，故选 D.
【点评】本题重点考查了利用奇函数的概念和函数奇偶性求函数值，考查了学生灵活利 ，在求 f (x) 的解析式时，符号易弄反.
【变式 1】已知函数 f (x) 为偶函数，且当 x > 0时， f (x) = x 2 + 1 ，则 f (-1) = ( )
x
D.-2
【解析】本题将例题中的条件“奇函数”换为了“偶函数”.
因 为 函 数
f (x)

为 偶 函 数 ， 且 当
x > 0 时 ，
f (x) = x 2 + 1
x

， 所 以
f (-1) = f (1) = 1 + 1 = 2 ，故选 A.
【变式 2】已知函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x > 0时， f (x) = x 2 + 1 ，则
x
函数的解析式为 .
【解析】本题将例题中的求值变为求函数的解析式.
因为函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，所以 f (-x) = - f (x)， f (0) = 0 .
设 x < 0 ， 则， 所以
f (-x) = (-x)2 + (- 1 ) = x2 - 1 ， 因为
x x
f (x) 是奇函数， 所以
f (x) = - f (-x) = -(-x)2 - (- 1 ) = -x2 + 1
x x
x
ìx 2 + 1 , x > 0
ï
ï
所以函数的解析式为 f (x) = í0, x = 0 .
ï
ï- x 2
î
+ 1 , x < 0
x
【变式 3】函数 f (x) = x 2 + 1 是( )
x

【解析】例题在“奇函数”的条件下的函数是分段函数(变式 2)，本题是判断例题中函数式的奇、.
函数 f (x) = x 2 + 1 的定义域为(-¥,0) È (0,+¥) .
x
f (- x) = (- x)2 + 1
x
= x2 - 1 ，所以 f (- x) ¹ - f (x), f (-x) ¹
x
f (x) .
所以函数 f (x) = x 2 + 1 D.
x
【变式 4】函数 f (x) = 1 x2 + 1 的单调递减区间是( )
2 x
A. (-¥,0)
B. (0,1)
C. (-¥,0), (0,1)
D. (1,+¥)
【解析】.
函数 f (x) = 1 x2 + 1 的定义域为(-¥,0) È (0,+¥) .
2 x
解法 1： f ¢(x) = x - 1 ，
x2
3

2 (x - 1)[(x + 1 )2 + 3 ]

令 f ¢(x) < 0 得 x - 1 = x
- 1 = (x - 1)(x
+ x + 1) =
2 4 < 0 ，解得
x2 x2 x2 x2
x < 1, x ¹ 0 .所以函数 f (x) = 1 x2 + 1 的单调递减区间是(-¥,0), (0,1) .故选 C.
2 x
解法 2：设 x1, x2 Î (-¥,0) È (0,+¥) ，且 x1 < x2 ，则
f (x ) - f (x ) = 1

2 + 1 ) - 1

2 + 1 ) = 1 (x

x )(x
- x ) - x1 - x2
= (x
- x )( x1 + x2 - 2 )
( x
1 2 2 1
( x
1
2
x 2 2 x
2 1 2 1 2
x1x2
2x1x2
1 2
因为 x1, x2 Î (-¥,0) È (0,+¥) ，且 x1 < x2 ，所以
①若 x1, x2 Î (-¥,0) ，则 f ( x1 ) >
f ( x2 ) ，为减函数；
②若 x1, x2 Î (0,1) ，则 f ( x1 ) >
f ( x2 ) ，为减函数；
③若 x1, x2 Î (1,+¥) ，则 f (x1 ) <
f (x2 ) ，为增函数. 故选 C.
【变式 5】已知函数 f (x) = x 2 + a (x ¹ 0, a Î R) .
x
(1)判断函数 f (x) 的奇偶性；(2)若 f (x) 在[2,+¥) 上为增函数，求实数 a 的取值范围.
【解析】本题将例题中的函数的解析式引入参数，并与函数的单调性相结合.
(1)当 a=0 时， f (x) = x 2 为偶函数；
当 a ¹ 0 时， f (x) 既不是奇函数也不是偶函数.
(2)解法 1： f ¢(x) = 2x - a ，
x2
令 f ¢(x) > 0，即 2x - a
x2
> 0 ，所以 a < 2x3 .
min
要使 f (x) 在[2,+¥) 上为增函数，只需 a £ (2x3 ) = 16 .所以实数 a 的取值范围(-¥,16].
解法 2：设 2 £ x1 < x2 ，则
f (x ) - f (x
) = x2 + a
x2 - a
= x1 - x2 [x x (x

+ x ) - a].
x
x
1 2 1 2
1 2
x1 x2
1 2 1 2
由 2 £ x1 < x2 ，得 x1 - x2 > 0, x1 x2 > 0, x1 x2 (x1 + x2 ) > 16 .
要使 f (x) 在[2,+¥) 上为增函数，只需 f (x1 ) - f (x2 ) < 0 ，即 x1 x2 (x1 + x2 ) - a < 0恒成立，则 a £ 16.
所以实数 a 的取值范围(-¥,16].
【感悟】， 然后利用奇偶性去求另一段区间上的解析式。所以这样求出来的函数往往是一个分段函数， 不要写成两个函数.
，二者之间有下面的密切关系：（1）奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；（2），可以解决很多函数综合问题，特别是抽象函数（即没有给出函数解析式的函数）问题.
【典例 3】(人教 A 版必修 1 第 57 页例 7)比较下列各题中两个值的大小：
（1） , ；（2） -,- ；（3） , .
【解析】（1）、（2）每题中两个指数式的底数相同，所以直接利用指数函数的单调性 比较大小；而（3）题中的两个指数式的底数不同，不能直接利用指数函数的单调性比较大小，所以借助中间值 1 .
【点评】比较两个函数值的大小问题是一类重要题型，运用单调性比较大小是基本的方
法.
【变式 1】比较两个值(1 - 2b) , (1 - 2b)3 (b < 1 ,b ¹ 0) 的大小.
2
【解析】讨论底数的范围后，利用指数函数的单调性比较大小.
(1)当 1-2b＞1，即 b＜0 时，
因为 y = (1 - 2b)x 为增函数，所以(1 - 2b) < (1 - 2b)3 .
(2)当 0＜1-2b＜1，即0 < b < 1 时，
2
因为 y = (1 - 2b)x 为减函数，所以(1 - 2b) > (1 - 2b)3 .
【点评】指数函数的单调性是学习和应用的重点，要特别注意底数 a a 不确定，在应用单调性时，一定要分类讨论.
【变式 2】已知下列不等式成立，比较字母 m ， n 的大小.
⑴ < ； ⑵ < .
【解析】观察所给的不等式，不难看出都属于指数不等式且底数固定，因此只要清楚 指数函数 y = 或 y = 的单调性，那么问题即可迎刃而解.
⑴∵ 指数函数 y = 在定义域(-¥ , + ¥) 内是单调增函数， < ，∴
m < n.
⑵ ∵ 指数函数 y = 在定义域(-¥ , + ¥) 内是单调减函数， < ，∴
m > n.
【点评】这类问题是指数函数单调性的逆向应用问题.
【变式 3】已知不等式 a m < a n (a > 0 ，且 a ¹ 1) 成立，比较字母m ， n 的大小.
【解析】观察所给的不等式，不难看出所给定的指数不等式的底数是字母常数，但并不 清楚底数 a 是大于 1 还是小于 1，因此不能断定指数函数 y = a x 的单调性，故需讨论求解.
⑴当 a > 1时，指数函数 y = a x 在定义域(-¥ , + ¥) 内是单调增函数，且 a m < a n ，∴
m < n.
⑵当0 < a < 1时，指数函数 y = a x 在定义域(-¥ , + ¥) 内是单调减函数，且 a m < a n ，
∴ m > n.
综上，当 a > 1时， m < n；当0 < a < 1时， m > n.
【点评】本题是在讨论底数范围的基础上比较字母大小的.
【变式 4】若 < a3 ，则 a 的取值范围是 .
【解析】观察所给的不等式，不难看出可以看成指数不等式来确定底数范围，因此只 要与指数函数 y = a x 的单调性对上号，那么问题即可迎刃而解.
∵ < 3 ，且 < a3 ，于是，这与指数函数 y = a x (a > 1) 在定义域(-¥ , + ¥) 内
是单调递增函数恰好一致，∴
a > 1.
故 a 的取值范围是(1 , + ¥) .
【点评】准确应用指数函数的单调性，是确定字母范围的关键.
5
20
【感悟】对于底数相同的指数式，可以直接利用指数函数的单调性比较大小；对于底数 不同的指数式，常通过指数的运算转化为同底，再利用指数函数的单调性比较大小，或选取 适当的中间值（如 0，1 等）与两数分别比较，利用传递性达到目的.
【例 4】() lg
lg
的值是 .
【解析】借助对数的运算性质
log a M + log a N = log a (MN )(a > 0, a ¹ 1, M

> 0, N > 0) 和基本性质log a a = 1求解.
5
20
lg + lg
= lg
= lg10 = 1.
100
【点评】，要注意正确应用对数的积、商、幂的运算法则；在研究有关对数问题时，要特别注意真数大于零这一性质.
上述高考题的课本原型是人教 A 版必修一第 74 页 A 组 3(3)题，高考题和课本题都是进行对数的运算，考查了对对数基本性质和运算性质的理解、掌握和运用，体现了“高考源于 课本”的命题原则.
1
课本原型：计算： lg - lg 25.
4
【解析】借助对数的运算性质
log a
M - log a
N = log a
M , log
N a
M n = n log
M (a > ¹ 1, M
> 0, N > 0) 和基本性质
a
log a a = 1求解.
1 1
lg - lg 25 = lg 4


100
= -2 .
【点评】对数运算性质的实质是把积、商、幂的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，
5
20
，特别是对数的真数必须大于零；要注意性质的正用和逆用.
【变式 1】计算： lg(
5) 4 + 2 lg 8 + 4 lg
3
× lg
+ (lg 2) 2 .
【解析】充分利用对数的运算性质，对各式进行变形、化简及求值. 原式
1 2 1 1

= lg(5 2 ) 4 +
lg 23 + 4 lg 5 2 × lg 20 2 + (lg 2) 2 = 2 lg 5 + 2 lg 2 + lg 5(1 + lg 2) + (lg 2) 2
3
= 2(lg 5 + lg 2) + lg 5 + lg 5 × lg 2 + (lg 2) 2 = 2 lg10 + lg 5 + lg 2(lg 5 + lg 2) = 2 + lg 5 + lg 2 × lg10
= 2 + lg 5 + lg 2 = 2 + lg10 = 2 + 1 = 3
【点评】(1)对于同底数的对数的化简、计算，常用方法是：①“收”，将同底
数的
两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差).
(2)在运用对数的运算性质时，注意保证每个对数式都有意义；另外对数的运算性质是可逆的，注意公式的逆用在解题中的作用.
(3) lg 5 + lg 2 = 1及其变形在对数计算中常用.
5
【变式 2】已知lg
= m, lg
= n ，求10 2m+n 的值.
20
20
20
【解析】解法 1：首先将已知中的对数式转化为指数式，然后利用幂的运算法则求解.
5
由lg
= m, lg
= n ，得10m =
5,10n = 。
所以102m+n = 102m ×10n = (10m ) 2 ×10n = (
5) 2 ×
= 10 5 .
20
【点评】，、对数的运算法则以及换底公式等知识，较好地考查了同学们的运算能力和数据处理能力.
20
解法 2：代入后利用对数恒等式和幂的运算法则求解.
5
因为lg
= m, lg
= n ，所以
10 2 m + n = (10 m ) 2 ×10 n = (10 lg
5 ) 2 ×10 lg
20 = (
5 ) 2 ×
= 10 .
20
5
M
【点评】常用的对数恒等公式有： loga1=0 ； logaa=1 ； loga ab =b ； loga 1 =-logaM ；
5
20
n
loga n Mm=mlogaM；aloga N=N；若 N1=N2⟺loga N1=loga N2(a>0 且 a≠1；M>0，N>0).这些公式变换都是进行对数运算强有力的支撑.
【变式 3】求log 2
× log 5 4 - log 3
× lg 9 的值.
【解析】运用对数换底公式和对数的运算性质求解.
5
log 2
× log5
4 - log3
× lg 9 =

lg 2
lg 4 -
lg 5
lg 5

lg 20
lg 3
lg 32
20
1 lg 5
= 2 × 2 lg 2 - lg 2 + 1 × 2 lg 3 = 1 - lg 2 - 1 = - lg 2 = lg 1
lg 2 lg 5 2 lg 3 2
【点评】对数换底公式的常见变形有：①logab∙logac=logac ；②logab = 1 ；③
logb a
n
logan bm=
，同学们就 “有权”在解题中选择自己认为恰当的底数，选择什么样的常数为底数更方便，要依据题目的特征而定.
【感悟】理解对数的概念及其运算性质、，注意运算性质的前提条件，熟练掌握和灵活运用相关公式及其变形，以不断提高运算能力.
【例 5】(人教 A 版必修一第 75 页习题 B 组第 2 题)若log 求实数 a 的取值范围.
3 < 1(a > 0,且a ¹ 1) ，
a 4
【解析】由于底数 a 的具体范围没有确定，因此需分 a > 1与0 < a < 1两种情况讨论进
行.
当 a > 1时，由log
3 < 1 = log
a 4 a
a ，得 a > 3 ，于是 a > 1；
4
当0 < a < 1时，由log
3 < 1 = log a ，得 a < 3 ，于是0 < a < 3 .

a 4 a 4 4
综上所述，实数 a 的取值范围是(0, 3) È (1,+¥).
4
【点评】本题主要考查对数函数的单调性与不等式知识， 此类题时要注意：如果对数函数的底数范围没有具体的规定，那么一般要对底数进行讨论.
【变式 1】若loga
( 3 a + 1) < 1(a > 0,且a ¹ 1) ，求实数 a 的取值范围.
4
【解析】首先根据条件建立不等式，再利用对数函数的单调性求解.
当 a > 1时，由loga
( 3 a + 1) < 1 = log
4 a
a ，得 3 a + 1 < a ,解得 a > 4；
4
当0 < a < 1时，由loga
( 3 a + 1) < 1 = log
4 a
a ，得 3 a + 1 > a ，解得 a < 4，结合
4
0 < a < 1，于是0 < a < 1.
综上所述，实数 a 的取值范围是(0,1) È (4,+¥).
【点评】本变式题由课本习题中对数的真数为常数变为与底数含有相同的参数，但解答 的基本方法是相同的，即通过对底数的讨论利用对数的单调性进行转化求解.
【变式 2】若(log
3 )2 < 1(a > 0,且a ¹ 1) ，求实数 a 的取值范围.
a 4
【解析】首先将不等式转化，再在讨论的基础上建立不等式，利用对数函数的单调性求
解.
由(log
3 )2 < 1，得 - 1 < log
a 4
3 < 1，即log
a 4
1 < log
a a
3 < log a .
a 4 a
当 a > 1时，
1 < 3 < a ，解得 a > 4 .
a 4 3
当0 < a < 1时，
a < 3 < 1 ，解得 a < 3 ，结合0 < a < 1，得0 < a < 3 .
4 a 4 4
综上所述，实数 a 的取值范围是(0, 3) È
4
( 4 ,
3
+¥) .
【点评】本变式题由课本方的不等式， 再通过对底数的讨论利用对数的单调性进行转化求解.
【变式 3】若定义在区间(-1，0)内的函数 f (x) = loga (x + 1) 满足 f (x) > 0 ，则 a 的取值范围是（ ）
A.(0，1) B.(0，1] C.(1，+∞) D.[1，+∞)
【解析】根据条件建立不等式，并根据函数中变量的范围确定真数的范围，进而确定底 数的范围.
因为loga 1 = 0，则由 f (x) = loga (x + 1) 满足 f (x) > 0 ，得loga (x + 1) > loga 1.
由 x Î (-1,0) ，得 x + 1 < 1，所以0 < a < 1，即0 < a < 1 ，故选 A.
2
【点评】本变式题在命题方式上发生了较大的变化，由课本习题直接给出不等式，变为 由函数在一个区间上的函数值范围给出的不等式，同时将变式一真数与底数具有相同的字母 变式为真数与底数所含有的字母不相同，其解法就有了一定的变化，但解题的指导思想没有 质的变化，均是利用对数函数的单调性进行求解的.
1 - log
3
x 4
【变式 4】函数 y = 的定义域为 .
【解析】根据偶次根式的要求建立不等式，然后对底数分 x > 0或0 < x < 1进行解答.
ì0 < x < 1
3 3 ï
ìx > 1
ï
要使函数有意义，则1 - log x 4 ³ 0，即logx 4 £ 1，于是 íx £ 3 ，或 íx ³ 3 ，解
ïî 4
得0 < x £ 3 ，或 x > 1.
4
1 - log
3
x 4
所以函数 y = 的定义域为(0, 3] È (1,+¥) .
4
îï 4
【点评】本变式与课本习题相比在形式上发生了较大变化，由课本习题直接给出不等式 变为由函数定义域要求给出不等式，但根据限制条件建立不等式后，就基本上是课本习题的 再现了，其解法与课本习题的解法也就完全一样了.
【变式 5】函数 y = log 3 (2x2 - 3x + 1) 的单调递增区间是 .
4
【解析】利用复合函数的单调性法则求解.
由 2x2 - 3x + 1 > 0 ，求得函数的定义域为(-¥, 1 )
2
È (1,+¥) .
令u(x) = 2x2 - 3x + 1，则u(x) 在(-¥,
1 ) 上是减函数，在(1,+¥) 上是增函数.
2
因为 y = log 3
4
u 是减函数，所以 y = log 3
4
(2x2 - 3x + 1) 的单调递增区间是(-¥, 1 ) .
2
【点评】本变式题在命题方式上发生了很大的变化，由课本习题直接给出不等式，利用 对数函数的单调性求字母的范围，变为求函数的单调区间，但本质仍然是考查对数函数的单 ， 方是，在求函数单调区间前应先考虑函数的定义域.
【感悟】对数函数是重要的基本初等函数之一，对数函数的单调性是对数函数最重要的性质，是对数函数的核心内容，其应用对于深化对数函数模型及进一步深入学习其它函数至 关重要.
【例 6】(人教 A 版必修一第 82 页 A 组 10