§4.3-三角函数的图象与性质(试题部分).docx

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探考情 悟真题
【考情探究】
考点
内容解读
5年考情
预测热度
考题示例
考向
关联考点
三角函数
的图象
①能画出y=sin x,y=cos x,y=tan x的图象;②了解函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义,能画出函数y=Asin(ωx+φ)的图象,了解参数A,ω,φ对函数图象变化的影响
2016课标全国Ⅱ,3,5分
由三角函数图象求解析式
三角函数的性质
★★☆
2016课标全移变换
三角函数的周期
2016课标全移变换
—
三角函数
的性质
①了解三角函数的周期性;②理解正弦函数、余弦函数的性质(如单调性、对称性、奇偶性以及最值问题等),理解正切函数的单调性
2018课标全国Ⅰ,8,5分
三角函数的周期性、最值
三角恒等变换
★★★
2019课标全国Ⅰ,15,5分
三角函数的最值
诱导公式,
二倍角公式
2018课标全国Ⅱ,10,5分
三角函数的单调性
辅助角公式
2018课标全国Ⅲ,6,5分
三角函数的周期性
三角恒等变换
及同角关系式
2019课标全国Ⅱ,8,5分
三角函数的周期性
函数的图象
分析解读
从近几年的高考试题来看,对三角函数图象和性质的考查一般以基础题为主,往往结合三角公式化简和变形来研究函数的单调性、奇偶性、对称性以及最值问题,且常以客观题的形式考查,分值一般为5分或12分,难度不大,属于中档题目.
破考点 练考向
【考点集训】
考点一　三角函数的图象
1.(2016四川,4,5分)为了得到函数y=sinx+π3的图象,只需把函数y=sin x的图象上所有的点(　　)


答案　A　
2.(2019湖北重点中学开学测试,7)已知曲线C1:y=sin x,C2:y=sin2x+2π3,则下面结论正确的是(　　)
,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移2π3个单位长度,得到曲线C2
,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π3个单位长度,得到曲线C2
,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移2π3个单位长度,得到曲线C2
,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π2个单位长度,得到曲线C2
答案　B　
3.(2019广西南宁二中高三摸底考试,7)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<0)的部分图象如图所示,为了得到g(x)=Asin ωx的图象,只需将函数y=f(x)的图象(　　)
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　


答案　B　
考点二　三角函数的性质
1.(2017课标全国Ⅱ,3,5分)函数f(x)=sin2x+π3的最小正周期为(　　)

答案　C　
2.(2019贵州贵阳联考,10)已知函数f(x)=sinωx+π3(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图象(　　)
,0对称 =π3对称
,0对称 =π4对称
答案　A　
3.(2015课标Ⅰ,8,5分)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为(　　)
-14,kπ+34,k∈Z -14,2kπ+34,k∈Z
-14,k+34,k∈Z -14,2k+34,k∈Z
答案　D　
4.(2020届河南、河北两省重点中学摸底考试,15)已知函数f(x)=2cos2x,将f(x)的图象上所有的点向左平移π4个单位长度得到g(x)的图象,则函数y=f(x)+g(x)的最小正周期是　　　　,最大值是　　　　. 
答案　π;2+2
炼技法 提能力
【方法集训】
方法1　由三角函数图象确定函数解析式的方法
1.(2020届陕西合阳中学9月月考,4)函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示,则φ=(　　)
　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
C.-π6 D.-π3
答案　B　
2.(2016课标全国Ⅱ,3,5分)函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则(　　)
=2sin2x-π6 =2sin2x-π3
=2sinx+π6 =2sinx+π3
答案　A　
方法2　三角函数的周期与对称轴(对称中心)的求解方法
1.(2017山东,7,5分)函数y=3sin 2x+cos 2x的最小正周期为(　　)

答案　C　
2.(2019辽宁辽南协作体一模,6)将函数f(x)=sin2x-π6图象上的所有点向左平移t(t>0)个单位长度,得到的函数g(x)是奇函数,则下列结论正确的是(　　)
,g(x)图象的对称中心为kπ2+π12,0,k∈Z
,g(x)图象的对称轴为x=kπ2+π3,k∈Z
,g(x)的单调增区间为kπ-π4,kπ+π4,k∈Z
,g(x)的周期为π
答案　D　
3.(2019河北邯郸摸底考试,17节选)已知f(x)=3cos 2x+2sin3π2+xsin(π-x),x∈(x)的最小正周期及其图象的对称轴方程.
答案　f(x)=3cos 2x+2sin3π2+xsin(π-x)=3cos 2x-2cos x·sin x=3cos 2x-sin 2x=-2sin2x-π3,
∴f(x)的最小正周期为π.
令2x-π3=kπ+π2(k∈Z),得x=kπ2+5π12,k∈Z.∴f(x)的图象的对称轴方程为x=kπ2+5π12(k∈Z).
方法3　三角函数的单调性与最值(值域)的求解方法
1.(2018天津,6,5分)将函数y=sin2x+π5的图象向右平移π10个单位长度,所得图象对应的函数(　　)
-π4,π4上单调递增 -π4,0上单调递减
,π2上单调递增 ,π上单调递减
答案　A　
2.(2020届河南重点中学摸底考试,5)已知x∈(0,π),则f(x)=cos 2x+sin x的值域为(　　)
,98 B.[0,1) C.(0,1) ,98
答案　D　
3.(2017课标全国Ⅱ,13,5分)函数f(x)=2cos x+sin x的最大值为　　　　. 
答案　5
【五年高考】
A组　统一命题·课标卷题组
考点一　三角函数的图象
1.(2016课标全国Ⅰ,6,5分)将函数y=2sin2x+π6的图象向右平移14个周期后,所得图象对应的函数为(　　)
=2sin2x+π4 =2sin2x+π3
=2sin2x-π4 =2sin2x-π3
答案　D　
2.(2016课标全国Ⅲ,14,5分)函数y=sin x-3cos x的图象可由函数y=2sin x的图象至少向右平移　　　　个单位长度得到. 
答案　π3
考点二　三角函数的性质
1.(2019课标全国Ⅱ,8,5分)若x1=π4,x2=3π4是函数f(x)=sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点,则ω=(　　)

答案　A　
2.(2018课标全国Ⅰ,8,5分)已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则(　　)
A. f(x)的最小正周期为π,最大值为3 B. f(x)的最小正周期为π,最大值为4
C. f(x)的最小正周期为2π,最大值为3 D. f(x)的最小正周期为2π,最大值为4
答案　B　
3.(2018课标全国Ⅱ,10,5分)若f(x)=cos x-sin x在[0,a]是减函数,则a的最大值是(　　)

答案　C　
4.(2018课标全国Ⅲ,6,5分)函数f(x)=tanx1+tan2x的最小正周期为(　　)

答案　C　
5.(2016课标全国Ⅱ,11,5分)函数f(x)=cos 2x+6cosπ2-x的最大值为(　　)

答案　B　
6.(2019课标全国Ⅰ,15,5分)函数f(x)=sin2x+3π2-3cos x的最小值为　　　　. 
答案　-4
B组　自主命题·省(区、市)卷题组
考点一　三角函数的图象
1.(2019天津,7,5分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)是奇函数,且f(x)的最小正周期为π,将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为g(x).若gπ4=2,则f3π8=(　　)
A.-2 B.-2
答案　C　
2.(2015山东,4,5分)要得到函数y=sin4x-π3的图象,只需将函数y=sin 4x的图象(　　)


答案　B　
3.(2016山东,17,12分)设f(x)=23sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移π3个单位,得到函数y=g(x)的图象,求gπ6的值.
答案　(1)f(x)=23sin(π-x)sin x-(sin x-cos x)2
=23sin2x-(1-2sin xcos x)
=3(1-cos 2x)+sin 2x-1
=sin 2x-3cos 2x+3-1
=2sin2x-π3+3-1.
由2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2(k∈Z),
得kπ-π12≤x≤kπ+5π12(k∈Z).
所以f(x)的单调递增区间是kπ-π12,kπ+5π12(k∈Z).或kπ-π12,kπ+5π12(k∈Z)
(2)由(1)知f(x)=2sin2x-π3+3-1.
把y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),
得到y=2sinx-π3+3-1的图象,
再把得到的图象向左平移π3个单位,
得到y=2sin x+3-1的图象,
即g(x)=2sin x+3-1.
所以gπ6=2sinπ6+3-1=3.
考点二　三角函数的性质
1.(2019上海,15,5分)已知ω∈R,函数f(x)=(x-6)2·sin(ωx),存在常数a∈R,使得f(x+a)为偶函数,则ω的值可能为(　　)

答案　C　
2.(2017天津,7,5分)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<=2,f11π8=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则　(　　)
=23,φ=π12 =23,φ=-11π12
=13,φ=-11π24 =13,φ=7π24
答案　A　
3.(2016天津,8,5分)已知函数f(x)=sin2ωx2+12sin ωx-12(ω>0),x∈(x)在区间(π,2π)内没有零点,则ω的取值范围是(　　)
,18 ,14∪58,1
,58 ,18∪14,58
答案　D　
4.(2018江苏,7,5分)已知函数y=sin(2x+φ)-π2<φ<π2的图象关于直线x=π3对称,则φ的值是　　　　. 
答案　-π6
5.(2019浙江,18,14分)设函数f(x)=sin x,x∈R.
(1)已知θ∈[0,2π),函数f(x+θ)是偶函数,求θ的值;
(2)求函数y=fx+π122+fx+π42的值域.
答案　本题主要考查三角函数及三角恒等变换等基础知识,,考查了化归与转化思想.
(1)因为f(x+θ)=sin(x+θ)是偶函数,所以,对任意实数x,都有sin(x+θ)=sin(-x+θ),
即sin xcos θ+cos xsin θ=-sin xcos θ+cos xsin θ,
故2sin xcos θ=0,
所以cos θ=0.
又θ∈[0,2π),因此θ=π2或3π2.
(2)y=fx+π122+fx+π42
=sin2x+π12+sin2x+π4
=1-cos2x+π62+1-cos2x+π22
=1-1232cos2x-32sin2x
=1-32cos2x+π3.
因此,函数的值域是1-32,1+32.
6.(2018北京,16,13分)已知函数f(x)=sin2x+3sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)若f(x)在区间-π3,m上的最大值为32,求m的最小值.
答案　(1)f(x)=12-12cos 2x+32sin 2x
=sin2x-π6+12.
所以f(x)的最小正周期为T=2π2=π.
(2)由(1)知f(x)=sin2x-π6+12.
由题意知-π3≤x≤m.
所以-5π6≤2x-π6≤2m-π6.
要使得f(x)在-π3,m上的最大值为32,
即sin2x-π6在-π3,m上的最大值为1.
所以2m-π6≥π2,
即m≥π3.
所以m的最小值为π3.
C组　教师专用题组
考点一　三角函数的图象
1.(2013课标Ⅱ,16,5分)函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后,与函数y=sin2x+π3的图象重合,则φ=　　　　. 
答案　5π6
2.(2015湖北,18,12分)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:
ωx+φ
0
π2
π
3π2
2π
x
π3
5π6
Asin(ωx+φ)
0
5
-5
0
(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;
(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动π6个单位长度,得到y=g(x)图象,求y=g(x)的图象离原点O最近的对称中心.
答案　(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=-:
ωx+φ
0
π2
π
3π2
2π
x
π12
π3
7π12
5π6
1312π
Asin(ωx+φ)
0
5
0
-5
0
且函数表达式为f(x)=5sin2x-π6.
(2)由(1)知f(x)=5sin2x-π6,
因此,g(x)=5sin2x+π6-π6=5sin2x+π6.
令2x+π6=kπ,k∈Z,解得x=kπ2-π12,k∈Z.
即y=g(x)图象的对称中心为kπ2-π12,0,k∈Z,其中离原点O最近的对称中心为-π12,0.
考点二　三角函数的性质
1.(2017课标全国Ⅲ,6,5分)函数f(x)=15sinx+π3+cosx-π6的最大值为(　　)

答案　A　
答案　B
3.(2014课标Ⅰ,7,5分)在函数①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y=cos2x+π6,④y=tan2x-π4中,最小正周期为π的所有函数为(　　)
A.①②③ B.①③④
C.②④ D.①③
答案　A　
4.(2011课标,11,5分)设函数f(x)=sin2x+π4+cos2x+π4,则(　　)
=f(x)在0,π2单调递增,其图象关于直线x=π4对称
=f(x)在0,π2单调递增,其图象关于直线x=π2对称
=f(x)在0,π2单调递减,其图象关于直线x=π4对称
=f(x)在0,π2单调递减,其图象关于直线x=π2对称
答案　D　
5.(2015陕西,14,5分)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sinπ6x+φ+,这段时间水深(单位:m)的最大值为　　　　. 
答案　8
6.(2015浙江,11,6分)函数f(x)=sin2x+sin xcos x+1的最小正周期是　　　　,最小值是　　　　. 
答案　π;3-22
7.(2015湖南,15,5分)已知ω>0,在函数y=2sin ωx与y=2cos ωx的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为23,则ω=　　　　. 
答案　π2
8.(2014课标Ⅱ,14,5分)函数f(x)=sin(x+φ)-2sin φcos x的最大值为　　　　. 
答案　1
9.(2017江苏,16,14分)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-3),x∈[0,π].
(1)若a∥b,求x的值;
(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.
答案　(1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,-3),a∥b,