专题27.15相似三角形中考真题分类专题（综合类）（专项练习）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版)[含答案].pdf

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专题 相似三角形中考真题分类专题（综合类）（专项
练习）
第一部分【题型目录】
一、选择与填空
【题型 1】判断辨析．．．1
【题型 2】尺规作图+判断求值．．2
【题型 3】反比例函数+三角形相似．．3
【题型 4】黄金分割．．．4
【题型 5】三角形相似的应用举例．．．4
【题型 6】利用三角形相似的性质与判定求函数关系式．5
【题型 7】利用相似三角形性质与判定求面积．5
【题型 8】利用相似三角形性质与判定求角度．6
【题型 9】利用相似三角形性质与判定求线段长．．．7
【题型 10】利用相似三角形性质与判定解决规律、最值、圆的问题．．7
二、解答题
【题型 11】三角形为背景相似三角形问题 8
【题型 12】特殊四边形为背景相似三角形问题 9
【题型 13】圆为背景相似三角形问题 9
【题型 14】反比例函数为背景相似三角形问题．．．10
【题型 15】二次函数为背景相似三角形问题．11
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型 1】综合判断辨析
【例 1】（2024·江苏连云港·中考真题）
1．下列网格中各个小正方形的边长均为 1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中
是相似形的为（ ）

试卷第 1 13页，共页 : .
A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁
【变式 1】（2024·湖南·中考真题）
2．如图，在VABC 中，点D E， 分别为边AB AC， 的中点．下列结论中，错误的是（ ）
1
A．DE BC∥ B．△ADE ABC∽△ C．BC DE= 2 D．S SVVADE ABC=
2
【变式2】（2024·山东威海·中考真题）
3．如图，在YABCD中，对角线AC ，𝐵𝐷交于点O，点E 在BC 上，点F 在𝐶𝐷上，连接
AE ，AF ，EF ，EF 交AC 于点G ．下列结论错误的是（ ）
CE AD
A．若 = ，则EF BD∥
CF AB
B．若 AE BC^ ，AF CD^ ，AE AF= ，则EF BD∥
C．若EF BD∥ ，CE CF= ，则Ð=ÐEAC FAC
D．若 AB AD= ，AE AF= ，则EF BD∥
【题型 2】尺规作图+判断求值
【例2】（2024·四川成都·中考真题）
4．如图，在YABCD中，按以下步骤作图：①以点B 为圆心，以适当长为半径作弧，分别
1
交BA，BC 于点M ，N ；②分别以M ，N 为圆心，以大于MN 的长为半径作弧，两弧
2
在Ð ABC 内交于点O；③作射线BO，交AD 于点E ，交CD延长线于点F ．若CD = 3，
DE = 2，下列结论错误的是（ ）
试卷第 2 13页，共页 : .
A．Ð=ÐABE CBE B．BC =5
BE 5
C．DE DF= D． =
EF 3
【变式】（2024·吉林长春·中考真题）
5．如图，在VABC 中，O是边AB 的中点．按下列要求作图：
①以点B 为圆心、适当长为半径画弧，交线段BO于点D，交BC 于点E ；
②以点O为圆心、BD长为半径画弧，交线段OA于点F ；
③以点F 为圆心、DE 长为半径画弧，交前一条弧于点G ，点G 与点C 在直线AB 同侧；
④作直线OG ，交AC 于点M ．下列结论不一定成立的是（　　）
A．Ð=ÐAOM B B．Ð+Ð=OMC C180o
1
C． AM CM= D．OM AB=
2
【题型 3】反比例函数+三角形相似
【例3】（2024·江苏宿迁·中考真题）
k k
6．如图，点 A 在双曲线 y x1 => ( 0)上，连接AO 并延长，交双曲线 y x2 =< ( 0)于点B，
x 4x
点 C 为 x 轴上一点，且 AO AC= ，连接BC ，若VABC 的面积是6，则 k 的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式 1】（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）
12
7．如图，双曲线y x=>  0经过A、B 两点，连接OA、AB ，过点B 作BD y^ 轴，垂足
x
为D，BD交OA于点E，且 E 为 AO的中点，则VAEB的面积是（ ）
试卷第 3 13页，共页 : .
A． B． C．3 D．
【变式 2】（2024·黑龙江绥化·中考真题）
8．如图，已知点A-7,0，B x ,10，C y-17, ，在平行四边形ABCO中，它的对角线OB
k
与反比例函数y k=¹  0的图象相交于点D，且OD OB: 1: 4= ，则k = ．
x
【题型 4】黄金分割
【例 4】（2021·四川巴中·中考真题）
9．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点 P 是线段 AB 上
BP AP
一点（AP＞BP），若满足 = ，则称点P 是 AB 的黄金分割点．黄金分割在日常生活中
AP AB
处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最
好．若舞台长 20 米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走 x 米时恰好站在舞台的黄金分割
点上，则 x 满足的方程是（　　）
A．（20﹣x）2＝20x B ．x2＝20（20﹣x）
C．x（20﹣x）＝202 D．以上都不对
【变式】（24-25 九年级上·全国·课后作业）
10．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、
舒展美观．已知一条分割线的端点A，B 分别在习字格的边MN PQ， 上，且AB NP∥ ，“晋”
BC 5 1-
字的笔画“、”的位置在 AB 的黄金分割点C 处，且 = ，若NP = 2cm，则BC 的长
AB 2
为 cm（结果保留根号）．
试卷第 4 13页，共页 : .
【题型 5】三角形相似的应用举例
【例 5】（2024·江苏镇江·中考真题）
11．如图，小杰从灯杆 AB 的底部点B 处沿水平直线前进到达点 C 处，他在灯光下的影长
CD = 3米，然后他转身按原路返回到点B 处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（ ）
A． 米 B．4 米 C． 米 D． 米
【变式】（2023·山东潍坊·中考真题）
12．在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示， AB 表示塔的
高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF 表示人眼到地面的高度，AB 、CD、EF 在同
一平面内，点A、C、E 在一条水平直线上．已知AC = 20米，CE =10米，CD = 7米，EF =
米，人从点F 远眺塔顶 B，视线恰好经过竹竿的顶端 D，可求出塔的高度．根据以上信息，
塔的高度为 米．

【题型 6】利用三角形相似的性质与判定求函数关系式
【例 6】（2024·湖南长沙·中考真题）
13．如图，在菱形 ABCD中，AB = 6，Ð=°B 30 ，点E 是BC 边上的动点，连接AE ，DE ，
过点A 作 AF DE^ 于点F．设DE x= ，AF y= ，则y 与 x 之间的函数解析式为（不考虑自
试卷第 5 13页，共页 : .
变量 x 的取值范围）（ ）
9 12 18 36
A． y = B． y = C． y = D． y =
x x x x
【变式】（2024·江苏无锡·中考真题）
14．如图，在VABC 中，AC = 2，AB =3，直线CM AB∥ ，E 是BC 上的动点（端点除
外），射线AE 交CM 于点D．在射线AE 上取一点P ，使得AP ED= 2 ，作PQ AB∥ ，交射
线AC 于点Q．设AQ x= ，PQ y= ．当x y= 时，CD = ；在点E 运动的过程中，y 关
于x 的函数表达式为 ．
【题型 7】利用相似三角形性质与判定求面积
【例7】（2024·广西·中考真题）
15．如图，边长为 5 的正方形 ABCD，E，F，G，H 分别为各边中点，连接 AG，BH ，
CE，DF ，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形MNPQ的面积为（ ）
A．1 B．2 C．5 D．10
【变式 1】（2024·甘肃临夏·中考真题）
16．如图，等腰VABC 中，AB AC== 2，Ð=BAC 120° ，将VABC 沿其底边中线AD 向下
1
平移，使A 的对应点A¢满足AA AD¢ = ，则平移前后两三角形重叠部分的面积是 ．
3
【变式 2】（2024·山东淄博·中考真题）
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17．如图，在边长为 10 的菱形 ABCD中，对角线AC ，BD相交与点O，点E 在BC 延长线
OF 5
上，OE 与CD相交与点F ．若ÐÐACD OEC= 2 ，= ，则菱形ABCD的面积为 ．
FE 6
【题型 8】利用相似三角形性质与判定求角度
【例8】（2024·湖北·中考真题）
18．VDEF 为等边三角形，分别延长FD DE EF， ， ，到点A B C， ， ，使DA EB FC== ，连
接AB AC， ，BC ，连接BF 并延长交AC 于点G ．若AD DF== 2 ，则Ð DBF = ，
FG = ．
【变式】（2024·山东烟台·中考真题）
19．如图，在正方形 ABCD中，点E，F 分别为对角线BD AC， 的三等分点，连接AE 并延
长交CD于点G，连接EF FG， ，若Ð=AGF a ，则ÐFAG 用含α 的代数式表示为（ ）
45°- a 90°- a 45°+ a a
A． B． C． D．
2 2 2 2
【题型 9】利用相似三角形性质与判定求线段长
【例9】（2024·四川眉山·中考真题）
20．如图，VABC 内接于eO ，点O在AB 上，AD 平分Ð BAC 交eO 于D，连接BD．若
AB =10，BD = 2 5，则BC 的长为 ．
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【变式 1】（2024·四川眉山·中考真题）
21．如图，菱形 ABCD的边长为6，Ð=°BAD 120 ，过点D作DE BC^ ，交BC 的延长线于
点