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知识探究:直线与圆的方程在实际生活中的应用
问题Ⅰ:一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报:台风中心位于轮船正西70 km处, 受影响的范围是半径长为30km的圆形区域. 已知港口位于台风中心正北40 km处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响?
O
x
y
轮船
港口
轮船航线所在直线 l 的方程为:
问题归结为圆心为O的圆与直线l有无公共点.
受台风影响的圆区域所对应的圆心为O的圆的方程为:
知识探究:直线与圆的方程在实际生活中的应用
问题Ⅱ:如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图. 这个圆的圆拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑,求支柱A2P2的高度()
A
B
A1
A2
A3
A4
O
P
P2
思考1:如何化归成数学问题?
思考2:如图所示建立直角坐标系,那么求支柱A2P2的高度,化归为求一个什么问题?
A
B
A1
A2
A3
A4
O
P
P2
x
y
思考4:利用这个圆的方程可求得点P2的纵坐标是多少?问题Ⅱ的答案如何?
思考3:取1m为长度单位,如何求圆拱所在圆的方程?
x2+(y+)2=
A
B
A1
A2
A3
A4
O
P
P2
x
y
解:建立如图所示的坐标系,设圆心坐标是(0,b),
圆的半径是r ,则圆的方程是x2+(y-b)2=r2 .
把P(0,4) B(10,0)代入圆的方程得方程组:
02+(4-b)2= r2
102+(0-b)2=r2
解得,b= - r2=
所以圆的方程是: x2+(y+)2=
把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程,得(-2)2+(y+)2=
因为y>0,所以y=
-(-2)2 -≈-=(m)
答:.
知识探究:直线与圆的方程在平面几何中的应用
问题Ⅱ:已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证:圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.
思考1:许多平面几何问题常利用“坐标法”来解决,首先要做的工作是建立适当的直角坐标系,在本题中应如何选取坐标系?
x
y
O
C
A
B
D
(a,0)
(0,b)
(c,0)
(0,d)
O1
M
N
E
思考2:BC边多长?
思考3:四边形ABCD的外接圆圆心O1的坐标如何?
思考4:如何计算圆心O1到直线AD的距离|O1E|?
结论:|BC|=2 |O1E|
用坐标法解决平面几何问题的步骤:
第一步:建立适当的坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题;
第二步:通过代数运算,解决代数问题;
第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论.