一元线性回归分析论文.docx

一元线性回归分析的应用
——以微生物生长与温度关系为例
摘要:一元线性回归预测法是分析一个因变量与一个自变量之间的线性关系的预测方法。应用最小二乘法确定直线,进而运用直线进行预测。本文运用一元线性回归分析的方法,构建模型并求出模型参数,对分析结果的显著性进行了假设检验,从而了微生物生长与温度间的关系。
关键词:一元线性回归分析;最小二乘法;假设检验;微生物;温度
回归分析是研究变量之间相关关系的统计学方法,它描述的是变量间不完全确定的关系。回归分析通过建立模型来研究变量间的这种关系,既可以用于分析和解释变量间的关系,又可用于预测和控制,进而广泛应用于自然科学、工程技术、经济管理等领域。本文尝试用一元线性回归分析方法为微生物生长与温度之间的关系建模,并对之后几年的情况进行分析和预测。
1 一元线性回归分析法原理
问题及其数学模型
一元线性回归分析主要应用于两个变量之间线性关系的研究,回归模型模型为,其中为待定系数。实际问题中,通过观测得到n组数据(Xi,Yi)(i=1,2,…,n),它们满足模型(i=1,2,…,n)并且通常假定E(εi)=0,Var(εi)=σ2各εi相互独立且服从正态分布。回归分析就是根据样本观察值寻求的估计,对于给定x值, 取,作为的估计,利用最小二乘法得到的估计,其中。
相关系数
上述回归方程存在一些计算相关系数。设LXX=,称为关于X的离
差平方和;Lyy=称为关于Y的离差平方和,Lxy=称为关于X与Y的离差积和。
相关系数r=,0≤| r |≤1。| r |=1时表示完全线性相关,| r |=0时表示不存在线性相关;0< | r |≤,< | r |≤,< | r |≤,< | r |≤1为高度相关。
样本统计量的假设检验
从总体中随机抽取一个样本,根据样本的数据导出的线性回归方程由于受到抽样误差的影响,所确定的变量之间的线性关系是否显著,以及按照这个模型用给定的自变量X估计因变量Y是否有效,必须通过显著性检验才可以作出结论,通常所用的检验方法是F检验。
线性回归模型,可知,当时,就认为与之间不存在线性回归关系,故需检验如下假设:,=为总偏差平方和,令,。当H0为真时,取统计量,由给定显著性水平α,查表得Fα(1,n-2),根据实验数据计算F的值,若F> Fα(1,n-2)时,拒绝H0,表明回归效果显著;若F≤Fα(1,n-2),接受H0,此时回归效果不显著。
2 一元回归分析法的应用
分析实例
某微生物的生长天数与当年三月上旬平均气温的数据如表1所示,分析三月上旬平均温度与微生物生长之间的关系。
表1 三月上旬温度与微生物生长天数的情况表
年份
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
温度℃










天数
3
5
3
1
4
4
5
2
7
5
分析结果
将数据输入SPSS中进行运算,选择线性回归分析。分析结果如表2所示。自变量是“温度”,因变量是“微生物生长天数”。
表2 全回