全等三角形的提高拓展训练(学生版)1he全等三角形经典题型50题(含答案).doc

全等三角形的提高拓展训练
知识点睛
全等三角形的性质:对应角相等,对应边相等,对应边上的中线相等,对应边上的高相等,对应角的角平分线相等,面积相等.
寻找对应边和对应角,常用到以下方法:
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边.
(2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角.
(3)有公共边的,公共边常是对应边.
(4)有公共角的,公共角常是对应角.
(5)有对顶角的,对顶角常是对应角.
(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角),一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角).
要想正确地表示两个三角形全等,找出对应的元素是关键.
全等三角形的判定方法:
(1) 边角边定理(SAS):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.
(2) 角边角定理(ASA):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.
(3) 边边边定理(SSS):三边对应相等的两个三角形全等.
(4) 角角边定理(AAS):两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.
(5) 斜边、直角边定理(HL):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
全等三角形的应用:运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题,在证明的过程中,注意有时会添加辅助线.
拓展关键点:、差、倍、分相等是几何证明的基础.
例题精讲
板块一、截长补短
(年北京中考题)已知中,,、分别平分和,、交于点,试判断、、的数量关系,并加以证明.

如图,点为正三角形的边所在直线上的任意一点(点除外),作,射线与外角的平分线交于点,与有怎样的数量关系?
【变式拓展训练】
如图,点为正方形的边上任意一点,且与外角的平分线交于点,与有怎样的数量关系?

已知:如图,ABCD是正方形,∠FAD=∠FAE. 求证:BE+DF=AE.
以的、为边向三角形外作等边、,连结、:平分.

(北京市、天津市数学竞赛试题)如图所示,是边长为的正三角形,是顶角为的等腰三角形,以为顶点作一个的,点、分别在、上,求的周长.

五边形ABCDE中,AB=AE,BC+DE=CD,∠ABC+∠AED=180°,
求证:AD平分∠CDE
板块二、全等与角度
【例7】如图,在中,,是的平分线,且,求的度数.

【例8】在等腰中,,顶角,在边上取点,使,
求.

【例9】(“勤奋杯”数学邀请赛试题) 如图所示,在中,,,又在上,在上,且满足,,求.

在四边形中,已知,,,,求的度数.
(日本算术奥林匹克试题) 如图所示,在四边形中,,,,,求的度数.

(河南省数学竞赛试题) 在正内取一点,使,
在外取一点,使,且,求.

(北京市数学竞赛试题) 如图所示,在中,,为内一点,使得
,,求的度数.
全等三角形证明经典50题(含答案)
已知:AB=4,AC=2,D是BC中点,AD是整数,求AD
A
D
B
C
延长AD到E,使DE=AD,
则三角形ADC全等于三角形EBD
即BE=AC=2 在三角形ABE中,AB-BE<AE<AB+BE
即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6
又AD是整数,则AD=5
已知:D是AB中点,∠ACB=90°,求证:
D
A
B
C
已知:BC=DE,∠B=∠E,∠C=∠D,F是CD中点,求证:∠1=∠2
A
B
C
D
E
F
2
1
证明:连接BF和EF。
因为 BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。
所以三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)。
所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF。
连接BE。
在三角形BEF中,BF=EF。
所以∠EBF=∠BEF。
又因为∠ABC=∠AED。
所以∠ABE=∠AEB。
所以 AB=AE。
在三角形ABF和三角形AEF中,
AB=AE,BF=EF,
∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。
所以三角形ABF和三角形AEF全等。
所以∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

B
A
C
D
F
2
1
E
已知:∠1=∠2,CD=DE,EF//AB,求证:EF=AC
证明:
过E点,作EG//AC,交AD延长线于G
则∠DEG=∠DCA,∠DGE=∠2
又∵CD=DE
∴⊿ADC≌⊿GDE(AAS)
∴EG=AC
∵EF//AB
∴∠DFE=∠1
∵∠1=∠2
∴∠DFE=∠DGE
∴EF