第一章 晶体学（题解）.pdf

第 1 章晶体学习题题解
1. 把图 1-55 的图案抽象出一个平面点阵。
解:按照等同点的原则,右图(图 1-55)黑
线勾画出的点阵就是由此图案抽象出的平
面点阵。



2. 图 1-56 的晶体结构中包含两类原子,把这个晶体结构抽象出空间点阵,画出其中一个结
构基元。
解:下右图(图 1-56)的结构单元是由一个黑点和一个白点组成,按照等同点原则,抽象除
的空间点阵如下左图所示,它的布拉喇菲点阵是面心立方。

3. 在图 1-57 的平面点阵中,指出哪些矢量对是初基矢量对。请在它上面再画出三个不同的
初基矢量对。
解:根据初基矢量的定义,由它们组成的平面
初基单胞只含一个阵点,右图(图 1-57)中的①
和②是初基矢量对,③不是初基矢量对。右图
的黑粗线矢量对,即④、⑤和⑥是新加的初基
矢量对。

4. 用图 1-58a 中所标的 a1 和 a2 初基矢量来写出 r1,r2,r3 和 r4 的平移矢量的矢量式。用图
1-58b 中所标的初基矢量 a1,a2 和 a3 来写出图中的 r 矢量的矢量式。
解:右图(图 1-58)a 中的 a1 和 a2 表
示图中的各矢量:
r1=a1+2a2 r2=-2a2
r3=-5a1-2a2 r4=2a1-a2
右图 b 中的 a1、a2 和 a3 表示图中的
r 矢量:
r=-a1+a2+a3

5. 用矩阵乘法求出乘积{2[100]⋅4[001]}的等价操作,再求{4[001]⋅2[100]}的等价操作,这些结果说明
什么?
1-1
解:因
⎡1 0 0 ⎤⎡0 −1 0⎤
⎢⎥⎢⎥
{2 } = 0 −1 0 {4 } = 1 0 0
[100] ⎢⎥[001] ⎢⎥
⎣⎢0 0 −1⎦⎥⎣⎢0 0 1⎦⎥
{2[100]⋅4[001]}的等价操作为
⎡1 0 0 ⎤⎡0 −1 0⎤⎡ 0 −1 0 ⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
{2 }⋅{4 } = 0 −1 0 ⋅ 1 0 0 = −1 0 0
[100] [001] ⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎢0 0 −1⎦⎥⎣⎢0 0 1⎦⎥⎣⎢ 0 0 −1⎦⎥
这组合的操作和操作等效。{4 ⋅2 }的等价操作为
{2[110]} [001] [100]
⎡0 −1 0⎤⎡1 0 0 ⎤⎡0 1 0 ⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
{4 }⋅{2 } = 1 0 0 ⋅ 0 −1 0 = 1 0 0
[001] [100] ⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎢0 0 1⎦⎥⎣⎢0 0 −1⎦⎥⎣⎢0 0 −1⎦⎥
这组合的操作和操作等效。对比上面两个结果,操作的顺序不同,所得的操作结果
{2[110]}
不同。

6. 画出图 1-59 中各个形体所有的对称元素。其中 a)是立方体,b)是四面体,c)是八面体,
d)是正六面柱体。
解:下图是立方体和八面体的对称元素示意图。
立方体有 4 个 3 次轴,它们是 4 个体对角线,即过立方体中心的 3 个<111>方向;有 3 个
4 次轴,它们是立方体三对平行面的中点连线,即过立方体中心的 3 个<100>方向;有 6
个 2 次轴,它们是过立方体中心的 6 个<110>方向;有 9 个镜面,即过立方体中心的 3 个
{100}面和过立方体中心的 6 个{110}面;有一个对称中心,它就是立方体的中心。
立方体顶面和底面中心与过立方体中心并平行于顶面(和底面)的四边形四个顶点连接起
来就是一个八面体,所以八面体的对称性质与立方体的相同。它有 4 个 3 次轴,3 个 4 次
轴,见上图右 2 图;有 6 个 2 次轴,见上图的右 3 图;有 9 个镜面,上面最右边的图只画
出了四个镜面,它们是过 E、F 点与 ABCD 四边形的两条中线连成的两个面以及 EAFC 面
和 EBFC 面,按同样方法以 A、C 顶点和 B、D 顶点也可各得四个镜面,但是其中有三个
是重复的,所以共有 9 个镜面;八面体中心是对称中心。
下右图是六面柱体和四面体的对称元素的示意图。六面柱体有 1 个 6 次轴,它是过六面柱
体中心并垂直顶面和底面的轴;有 6 个 2 次轴,它们是过六面柱体中心的六边形的三个对
角线和这个六边形对边中点连线;有 7 个镜面,它们是是过六面柱体中心的六边形面、六
1-2
面柱体三对棱连成的三个面
以及六面柱体三对柱面中线
连成的三个面;有一个对称
中心,它是六面柱体的中心。
四面体有四个 3 次轴,它们
是四个顶点与其