信号与系统-罗斯判据.ppt

§4 系统的稳定性
系统稳定的充分必要条件
冲激响应必须是绝对可积的,即
要使系统稳定,H(s)的极点必须全部在S左半平面,或者是系统的特征方程的根的实部全部为负。
罗斯判据
设线性系统的特征方程为:
则系统稳定的充分必要条件是特征方程的全部系数为正值,并且由特征方程系数组成的罗斯阵的第一列系数也为正值。
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第六章第3讲
罗斯判据
罗斯阵的形式为:
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2
第六章第3讲
举例
三阶系统的特征方程为:
罗斯阵为
s3 a3 a1
s2 a2 a0
s1 0
s0 a0
系统稳定的充分必要条件为
罗斯判据
3
第六章第3讲
改变一次符号
改变一次符号
根据罗斯判据确定系统为不稳定的情况:
罗斯阵第一列所有系数均不为零,但也有不全为正数的情况:
特征根在右开半平面的数目等于罗斯阵第一列系数符号改变的次数。
例:线性系统的特征方程为:
罗斯阵为
可见系统不稳定,改变符号次数为2,表明有两个正实部的根。
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第六章第3讲
根据罗斯判据确定系统为不稳定的情况:
罗斯阵某一行第一项系数为零,而其余系数不为零的情况。
可用有限小的正数代替零计算。
例:线性系统的特征方程为:
罗斯阵为
故有两个根在右半平面。实际上
改变一次符号
改变一次符号
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第六章第3讲
罗斯阵某一行全为零的情况
系统没有正实部根,有共轭虚根,其根为
即,所以,系统有四个根,
罗斯阵变为
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第六章第3讲
例 1
设连续系统的系统函数为,其中D(s)=s3+2s2+4s+K
罗斯阵为
s3 1 4
s2 2 K
s1 0
s0 K
罗斯判据
则系统稳定时K的取值范围为_________。
可见,系统稳定时K的取值范围为:0<K<8
0<K<8
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第六章第3讲
例 2
已知如图所示系统,欲使系统稳定,试确定K的取值范围;若系统属临界稳定,试确定它们在j轴上的极点的值。
解:先求系统函数,设变量X
代入表达式,故有

令
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第六章第3讲
例 2
已知如图所示系统,欲使系统稳定,试确定K的取值范围;若系统属临界稳定,试确定它们在j轴上的极点的值。
见罗斯判据
系统稳定时K的取值范围为:
D(s)=s4+5s3+8s2+6s+K, 罗斯阵为
s3 5 6 0
s2 K
s1 0
s0 K
s4 1 8 K
要使系统属临界稳定时罗斯阵的某一行为0,即 K=204/25。
辅助多项式:
其导数为:
从罗斯阵可知:系统没有正实部根,有共轭虚根,其根为
见罗斯判据
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第六章第3讲