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小议“线段和”的证明方法
【摘要】利用三角形或四边形的相关性质从等量与不等关系出发小议“线段和”的证明方法。
【关键词】线段和;等量;不等
“线段和”的证明是利用三角形或四边形的相关性质寻找和构造等量(或不等)关系,问题的关键在于如何“转化”。本文将分别从等量和不等两种关系出发,小议其证明方法。
一、等量关系
证明“线段和”的等量关系主要要有“合二为一”和“一分为二”两种思路:
1、合二为一,即在形如“a+b=c(其中c又可以表示为d+e)”的问题中,试证明a,b分别与c,d对应相等。例如:
,ABC中,AB=AC,点P选BC上的任意一点,PE∥AC,PF∥AB,分别交AB,AC于E,F求证:PE+PF=AB
分析:本题中AB可表示为AE+BE,因此只需证AE,BE分别与PF,PE对应相等即可。
证明: ∵PE∥AC,PF∥AB
∴四边形AEPF是平行四边形
∴AE=PF
又∵PE∥AC,∴∠EPB=∠C,AB=AC
∴∠B=∠C,∴∠EPB=∠B
∴BE=EP,∴AB=AE+BE=PF+PE
2、一分为二,即在形如“a+b=c”的问题中,在线段c上截取线段d,使得a=d,再证明b与c上剩下的一段线段相等。(可概括为“一截,二证,三相等”)。例如:
,已知P是三角形ABC底边上的任意一点, PD⊥AB于D,PE⊥AC于E,BF为腰上的高,求证:PD+PE=BF。
分析:本着“一截,二证,三相等”的解题思路,该题可在BF上截取BG,使得BG=PD,再证明GF=PE即可。
证法一:在线段BF上截取BG,使得BG=PD,连接PG(见图2)
∵AB=AC,PD⊥AB,BF⊥PD
∴△PDB~△BFC,∴∠FBC=∠DPB
又∴BG=PD,∠GBP(∠FBC)=∠DPB,PB=BP
∴△BDP≌△PGB,∴∠BGP=90°,即PG⊥BG
∴四边形PEFG为矩形
∴GF=PE
则 BF=BG+GF=PD+PE
在证法一中我们发现,证明△PDB≌△BFC和△BDP≌△PGB的目的只有一个,只为得到∠BGP=90°。这就为我们提供了第二种证明思路。
证法二:过点P作PG⊥BF,交BF于点G(见图3)
∵PG⊥BF,BF⊥AC,PE⊥AC
∴四边形PEFG为矩形,∴GF=PE
又∵PG⊥BF,BF⊥AC
∴PG∥AC,∴∠GPB=∠C=∠DBP
∵∠PDB=∠BGP=90°,∠DBP=∠GPB, BP=PB
∴△DBP≌△GPB,∴PD=BG
则BF=BG+GF=PD+PE
由证法二我们可以体会一分为二的“一截”并不是一定要用截取的方法,用作平行线的方法也可以得到相同的效果!
由于该题的图形较特殊,我们还可以用“等面积”法为其提供证明。
证法三:连接AP(见图4)
∵因为BF为等腰△ABC的腰AC上的高
∴