数值分析ex24-《数值分析》习题课.ppt

数值求积公式及代数精度
数值求导方法与截断误差
一阶常微分方程数值法
局部截断误差与精度
《数值分析》习题课 IV




插值型求积公式:
令
求积余项
拉格朗日插值
等距结点插值型求积公式称为Newton-Cotes公式,偶数阶Newton-Cotes公式至少有(n+1)阶代数精度
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2. Simpson公式
复合梯形求积公式令h=(b-a)/n
误差
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高斯型数值求积公式
t∈[-1, 1]
思考:三点求积公式
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Gauss点如果求积结点x0, x1,···,xn,使插值型求积公式
代数精度为2n+1,则称该求积公式为Gauss型求积公式. 称这些求积结点为Gauss点.
如果多项式wn+1(x)=(x – x0) (x – x1)···(x – xn)
与任意的不超过n次的多项式P(x) 正交,则 wn+1(x)的所有零点x0, x1 ,······, xn 是Gauss点
正交多项式:
: p0=1, p1=x, p2 =(3 x2 – 1 )
: T0=1, T1=x, T2=2x2 – 1 ,········
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一阶向前差商
一阶向后差商
二阶中心差商
一阶中心差商
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外推算法
思考:一阶中心差商和二阶中心差商的外推公式?
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1. Euler方法
常微分方程初值问题
2. 梯形公式:
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预测-校正公式
局部截断误差概念
设 yn= y(xn), 称Rn+1=y(xn+1) - yn+1为局部截断误差
常表示为: O(hp+1), p 称为单步法的精度阶数
又称为修正的Euler公式
yn+1= yn+ [ k1+ k2]
k1=f(xn,yn), k2=f(xn+h, yn+hk1)
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二阶Range-Kutta公式一般形式
yn+1= yn+ h[c1k1+ c2k2]
k1=f (xn, yn)
k2=f(xn+λ2h, yn+μ21hk1)
( n=0,1,······ )
yn+1= yn+ h[k1+2k2+2k3+k4]/6
k1=f(xn,yn),
k2=f(xn+, yn+)
k3=f(xn+, yn+),
k4=f(xn+h, yn+hk3)
四阶龙格-库塔公式(称为经典公式)
局部截断误差为 O(h5)
( n=0,1,······ )
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