数值分析第4章数值积分和数值微分.ppt

第四章数值积分与数值微分
数值积分概论
牛顿-柯特斯公式
复合求积公式
龙贝格求积公式
自适应求积公式
高斯求积公式
多重积分
数值微分
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数值积分与数值微分
数值求积的基本思想
数值积分概论
数值求积的产生背景
困难
原函数无法用初等函数表示
Newton—Leibniz公式
f (x)是一张数据表
数值求积的基本思想

在[a,b]内存在一点,有
f()
积分中值定理
[a, b]上的平均高度
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数值积分与数值微分
平均高度f()的算法
梯形公式
()
()
中矩形公式
式中 xk 称为求积节点;Ak 称为求积系数,亦称为伴随节点 xk 的
()
在区间[a,b]上适当选取某些节点 xk ,用 f (xk )加权平均得到平均高度 f (ζ)的近似值
仅仅与节点xk 的选取有关,而不依赖于被积函数 f(x)
使积分公式具有通用性
机械求积
特点
将积分求值问题归结为函数值的计算
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数值积分与数值微分
定义 1 如果某个求积公式对于次数≤m的多项式均能准确地
一般地,欲使求积公式具有m次代数
()
代数精度的概念
成立,但对于m+1次多项式就不准确成立,则称该求积公式具有m次代数精度.
精度,只要令它对于f (x) = 1,x,…,xm 都能准确成立,这就要求
确定代数精度的方法
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数值积分与数值微分
f(x)
a
b
f(a)
f(b)
解:逐次检查公式是否精确成立
代入 f(x) = 1:
=
代入 f(x) = x :
=
代入 f(x)= x2 :

代数精度= 1
例1: 考察其代数精度。
(1)如果事先选定求积节点,譬如,以区间的等
距分点作为节点,这时取,求解方程组()即可确
定求积系数,而使求积公式()至少具有次代数精度.
构造形如()的求积公式, 原则上是一个确定参数和的代数问题.
求积公式的构造
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数值积分与数值微分
解:
3h=A0+ A1+ A2
h2=0 + A1h+ A22h
9h3=0 + A1h2+ A24h2
2
9
故求积公式的形式为
解之得 A0= h, A1=0, A2= h.
9
4
3
4
 f(x)dx  f(0) + f(2h)
3h
4
9h
4
3h
0
由公式的构造知,公式至少具有2次代数精度; 而当f(x)=x3时,公式的左边= h4, 右边=18h4, 公式的左边右边,说明此公式对 f(x)=,公式只具有2次代数精度.
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例2
试构造形如 f(x)dx  A0f(0)+ A1f(h)+ A2f(2h) 的数值求积公式,使其代数精度尽可能高,并指出其代数精度的阶数.
3h
0
令公式对 f(x)=1,x, x2 均准确成立,则有
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数值积分与数值微分
(2)在()中如果节点和系数都不确定,那么()就
是关于及的个参数的非线性方程
组,该方程组在时求解是很困难的.
当时,求积公式为
可令,由()知
于是
中矩形公式
再令,代入
故它的代数精度为1.
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数值积分与数值微分
例3 给定形如的
求积公式,试确定系数,使公式具有尽可能高的
代数精度.
解
当时,得
当时,得
令分别代入求积公式使它精确成立
当时,得
解得,于是得
当时, 而上式右端为,故公
式对不精确成立,其代数精度为2.
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数值积分与数值微分
近似计算
思路
利用插值多项式则积分易算。
在[a, b]上取 a  x0 < x1 <…< xn  b,做 f 的 n 次插值多项式,即得到
Ak
由决定,
与无关。
节点
f (x)
插值型积分公式
插值型的求积公式
关键是f(x)
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数值积分与数值微分
当是次数不超过的多项式时,插值多项式就是
反之,如果求积公式()至少具有次代数精度,则
它必定是插值型的.
公式对于插值基函数应准确成立,即有
具有次代数精度.
函数本身,
余项为零,
所以这时插值型求积公式至少
()
误差
注意到上式右端实际上即等于,因而
成立.
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数值积分与数值微分