30 导数在研究函数的最值中的应用
基础梳理
双基研习·面对高考
在闭区间[a,b]上连续,在(a,b)内可导,f(x)在[a,b]上求最大值与最小值的步骤:
(1)__________________________ ;
(2)将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是_______,最小的一个是________
求f(x)在(a,b)内的极值
最大值
最小值.
应注意:
(1)在求实际问题中的最大(小)值时,一定要注意考虑实际问题的意义,不符合实际问题的值应舍去.
(2)在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使f′(x)=0的情形,那么不与端点值比较,也可知道这就是最大(小)值.
(3)在解决实际优化问题时,不仅要注意将问题中涉及的自变量的函数关系式给予表示,还应确定函数关系式中自变量的定义区间.
=-x2-2x+3在[a,2]上的最大值是则a=:-
=ex+sinx在[0,]:1
=x3-3x2-9x在[-2,0]: [-2,5]
=x4-2x2+5在[-2,3]上的最大值,:68,4
课前热身
考点二
导数与函数的极(最)值
利用导数求函数极(最)值的步骤
(1)确定函数的定义域;(2)求导数f′(x);(3)解方程f′(x)=0,求出函数定义域内的所有根;(4)列表检验f′(x)在f′(x)=0的根x0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值,如果左负右正,那么f(x)在x0处取极小值.
例3
【思路分析】先求出函数f(x)的导函数f′(x),再令导函数f′(x)=0,并求出其根,列表讨论f′(x)与f(x)的变化情况,最后由f′(x)与f(x)的变化情况确定出函数的极值.
【名师点评】本题是三次函数的极值点问题,三次函数求导后,导函数为二次函数,因而讨论时可结合二次函数的知识,尤其是二次函数的图象来研究.
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