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函数图像的平移变换与伸缩变换
在学习高中数学必修4的三角函数这部分内容的过程中,我们增加了三角函数的图像的变换这部分内容,主要要学习函数的图像是由的图像怎样变换得来的,这要涉及的变换有平移变换与伸缩变换。而我们在后来复习函数时,也要增加函数的图像变换的内容。三角函数也属于函数,因此一般函数的图像变换法则和方法对三角函数同样适用。所以为了使平移变换与伸缩变换这部分内容更具有一般性,我想站在一般函数的高度来研究函数图像的平移变换与伸缩变换。多年的教学生涯让我对这两种变换有了深刻的认识,能够高度概括这两种变换。现在我想把自己对这两种变换的认识写成论文,供大家借鉴使用,提出建设性意见。
大家知道,的图像向上(下)平移10个单位,可得到(),即()的图像;的图像向右(左)平移,可得到()的图像;的图像横向伸长至原来的2倍(横向缩至原来的),可得到()的图像;的图像纵向伸长至原来的3倍(纵向缩短至原来的),可得到(),即()的图像;我们可用表格把上述小题的变换内容与解析式的相应变化反映出来。表格为
变换内容
解析式的相应变化
向右平移
向左平移
向下平移10
向上平移10
横向伸长至原2倍
横向缩短至原
纵向伸长至原3倍
纵向缩短至原
从上面的表格,我们可以感到平移变换和伸缩变换有如下特点:
左加右减,下加上减;横向变换变x,纵向变换变y;各种变换均在x、y头上直接变;x、y的变化总与我们的感觉相反。例如,向左或向右平移、横向伸长或横向缩短时变化的均为x;向上平移或向下平移、纵向伸长或纵向缩短时变化的均为y;从这可以看出横向变换变x,纵向变换变y。向右平移时,我们感觉图像上的每个点的横坐标应增加,但x的变化却为把x变为;横向伸长至原来的2倍时,我们感觉每个点的横坐标应变为原来的2倍,但实际上x的变化却为把x变为;从这可看出x、y的变化总与我们的感觉相反。从上面的解析式的相应变化中可看到,x、y的变化均是直接把x或y变成多少,其余一律照抄下来。例如,的图像向右平移2个单位,应得到的图像,而不是;的图像横向伸长至原来的3倍,应得到,即的图像,而不是的图像,这就体现了各种变换均在x、y头上直接变。
把平移变换和伸缩变换的规律总结成口诀,为:横向变换动x,纵向变换动y;直接在x、y头上动;解析式的相应变化总与我们的感觉相反。这个变换不但对三角函数适用,对任意函数也适用。例如,的图像向右平移3个单位,得到的图像。
教学生应用口诀时,要把口诀具体转化为式子表示出来,就像那个表格中的一样,向右平移3个单位,就把x变为;横向伸长至原来的3倍,就把x变为。例