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奇偶性与单调性例题讲解
,与函数有相同的奇偶性的是 ( )
(A) y = | x+1 | + | x-1 | (B)
(C) (D)
分析:设,则函数f ( x )的定义域为(-1,1),并且此定义域内任意x.
,又 f () = lg3, f () = lg,故 f ()≠f ().
∴ f ( x ) 是奇函数而不是偶函数.
而(A)中函数是偶函数(不是奇函数),(B)中函数是偶函数(也是奇函数),(C)中函数既不是奇函数,也不是偶函数,只有(D)中函数是奇函数而不是偶函数.
因此,本题应选(D).
,要证明f ( x )(x∈F)不是偶函数,只要对F中某个x0,证明 f (-x0 ) ≠ f ( x0 )即可.
[-1,1]上的奇函数,试确定函数
f ( x )的解析式.
分析:确定函数f ( x )的解析式,这里即确定a、,只要找出二个关于a、b的制约条件,而这里的条件又只能从“f ( x )是[-1,1]上的奇函数”而来.
解:∵在[-1,1]上是奇函数,
∴ f (-x ) = -f ( x ) 对任意x∈[-1,1]成立.
∴ f (-1 ) = -f ( 1 ),f (0 ) =0,
即
解得 a = 0,b = 0 .
∴函数f ( x )的解析式是.
这里运用奇函数定义时,还涉及到一般与特殊的关系.
还应注意,一般情况下,f (0 ) =0是f ( x )为奇函数的既非充分条件, = 0时,f ( x )有意义,则f (0 ) =0是f ( x )为奇函数的必要非充分条件.
,证明函数f ( x ) = x + 在区间上是减函数.
证明:任取x1,x2,使0< x1<x2≤1,则:
.
∵ 0 < x1 <1,0 < x2 ≤1,x1< x2,
∴ x2-x1 > 0,x1x2 > 0,0< x1x2 <1.
∴ f ( x2 )-f ( x1 ) < 0,即f ( x2 ) < f ( x1 )
∴ f ( x )在上是减函数.
这是函数单调性中最基本的要求,既应注意“利用定义”所要求的特定的证明步骤,还应注意不等式性质的正确使用.
;单调递减区间是_____________________.
分析:由 x2-6x+8 > 0,得已知函数的定义域为(-∞,2)(4,+∞).
又已知函数是由 u = x2-6x+8(x < 2或x > 4)与(u > 0)复合而成的复合函数.
由于函数在(0,+∞)上是减函数;函数u = x2-6x+8(x < 2或x > 4)在(-∞,2)上是减函数,在(4,+∞)上是增函数,
∴已知函数的单调递增区间(-∞,2),单调递减区间是(4,+∞).
复合函数 y = f [ g ( x ) ] = g ( x ),
y = f ( u )的单调性相关,其规律可列成下表:
单调性
u = g ( x )
↗
↗
↘
↘
y = f ( u )
↗