数值分析 数值积分与数值微分.ppt

数值分析
主讲侯晓慧
第四章数值积分与数值微分
其中F(x)是f(x)的原函数之一,可用不定积分求得。而在实际问题中,大量函数的原函数不容易或根本无法求出。例如,概率统计中常用的概率积分,及积分
等根本无法用初等函数来表示其原函数,因而也无法精确计算其定积分,只能运用数值积分。
计算定积分可用牛顿-莱布尼兹公式计算
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§1 数值积分和代数精确度
一、数值积分公式
在区间[a, b]上的定积分其某个数值积分公式就是在区间[a, b]内取n+1个点x0,x1,…,xn。利用被积函数f(x)在这n+1个点的函数值的某一种线性组合来近似作为待定求定积分的值,即
右端公式称为左边定积分的某个数值积分公式。其中xk为积分节点,Ak为相应的求积系数。因此,一个数值积分公式关键在于积分节点xk的选取和积分系数Ak的决定,其中Ak与被积函数f(x)无关。
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§1 数值积分和代数精确度
二、积分公式的代数精确度
定义:若积分的数值积分公式
对于任意一个次数不高于m次的多项式都精确成立,而存在一个m+1次多项式使之不精确成立,则称该数值积分公式的代数精确度为m。
对于代数精确度为m的求积公式,若f(x)是不超过m次的代数多项式,求积公式是精确成立的。
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这个求积公式的几何意义是曲边梯形的面积,近似地用两个梯形面积来代替。
解:
代入 P0 = 1:
而数值积分1/2[1+2+1]=2 两端相等
代入 P1 = x :
数值积分1/2[-1+2*0+1]=0 两端相等
代入 P2 = x2 :
数值积分1/2[(-1)2+2*0+12]=1 两端不等
代数精确度= 1
例如,有积分公式
求其代数精确度
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例:在如下求积公式中,求积分节点x1,x2和相应的求积系数A1,A2使其代数精确度尽可能高。
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§2 等距节点的求积公式
一、Newton-Cotes公式的推导
将区间[a,b]n等分,记
这n+1个节点上的函数值为f(xk)
从而区间[a,b]上的拉格朗日插值多项式为
其中lk(x)为插值基本多项式,与f(x)无关。
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§2 等距节点的求积公式
因为
故
因为作积分变量代换
由于插值节点是等距节点,故可进一步化简:
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§2 等距节点的求积公式
当x=a时,t=0, 当x=n时,t=n;

故
记 k=0,1,…,n
我们称为柯特斯系数,其不仅与函数f(x)无关,而且与积分区间[a,b]无关。
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§2 等距节点的求积公式
可以得到系数表
于是我们得到N阶Newton-Cotes公式:
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