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余弦定理
新疆奎屯市高级中学王新敞
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余弦定理
1、向量的数量积:
2、勾股定理:
A
a
B
C
b
c
证明:
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向量法
几何法
坐标法
例题
定理
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2
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A
a
B
C
b
c
余弦定理
A
c
b
A
b
c
当时
当时
当时
AB边的大小与BC、AC边的大小和角C的大小有什么关系呢?怎样用它们表示AB呢?
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余弦定理
思考题:若 ABC为任意三角形,已知角C,BC=a,
CA=b,求AB边c.
A
B
C
a
b
c
解:
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余弦定理
定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题:
(1)已知三边求三个角;
(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角。
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例题
定理
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余弦定理
A
B
C
a
b
c
D
当角C为锐角时
证明:过A作AD CB交CB于D
在Rt 中
在中
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余弦定理
当角C为钝角时
证明:过A作AD CB交BC的延长线于D
在Rt 中
在中
b
A
a
c
C
B
D
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余弦定理
b
A
a
c
C
B
证明:以CB所在的直线为X轴,
过C点垂直于CB的直线为Y轴,建立如图所示的坐标系,则A、B、C三点的坐标分别为:
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2018/4/19
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9
利用余弦定理,可以解决:
(1)已知三边,求三个角;
(2)已知两边及夹角,求第三边和
其他两个角.
A
B
C
a
b
c
c2=a2+b2-2abcosC.
a2+b2-c2
2ab
cosC=
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2018/4/19
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例 1:在ABC中,已知a=7,b=10,
c=6,求A、B和C.
解:
b2+c2-a2
2bc
∵ cosA= =,
∴ A≈44°
a2+b2-c2
2ab
∵ cosC= =,
∴ C≈36°,
∴ B=180°-(A+C)≈100°.
∵sinC= ≈,
∴ C ≈ 36°或144°(舍).
c sinA
a
(
)
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