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矩阵家族
矩阵
在数学上,矩阵是指纵横排列的二维数据表格,最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。
伴随矩阵
定义
A的伴随矩阵可按如下步骤定义:
用A的第i 行第j 列的代数余子式把第j 行第i 列的元素替换掉得到就是A的伴随矩阵。
例如:
A是一个2x2矩阵,则A的伴随矩阵为[M22,-M21;-M12,M11];
(余子式定义:A关于第i 行第j 列的余子式(记作Mij)是去掉A的第i行第j列之后得到的(n ? 1)×(n ? 1)矩阵的行列式。特殊规定:一阶矩阵的伴随矩阵为一阶单位方阵)
逆矩阵
逆矩阵: 设A是数域上的一个n阶方阵,若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B,使得: AB=BA=E。则我们称B是A的逆矩阵,而A则被称为可逆矩阵。
矩阵可逆的条件
1、A是方阵
2、A的各列线性无关
3、|A|不等于0
A^(-1)=(1/|A|)×A* ,其中A^(-1)表示矩阵A的逆矩阵,其中|A|为矩阵A的行列式,A*为矩阵A的
伴随矩阵。
矩阵的另外一种常用的求法:
(A|E)经过初等变换得到(E|A^(-1))。
注意:初等变化只用行运算,不能用列运算。
逆矩阵具有以下性质:
1 逆矩阵的充要条件是A的行列式不等于0。
2 可逆矩阵一定是方阵。
3 如果矩阵A是可逆的,A的逆矩阵是唯一的。
4 可逆矩阵也被称为非奇异矩阵、满秩矩阵。
5 两个可逆矩阵的乘积依然可逆。
6 可逆矩阵的转置矩阵也可逆。
7 一个可逆矩阵的逆矩阵是唯一的。
8 矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。
9 可逆矩阵的秩的倒数与原矩阵的秩的乘积为一个常数C。
奇异矩阵
奇异矩阵是线性代数的概念,就是对应的行列式等于0的矩阵。奇异矩阵的判断方法:首先,看这个矩阵是不是方阵(即行数和列数相等的矩阵。若行数和列数不相等,那就谈不上奇异矩阵和非奇异矩阵)。然后,再看此方阵的行列式|A|是否等于0,若等于0,称矩阵A为奇异矩阵;若不等于0,称矩阵A为非奇异矩阵。同时,由|A|≠0可知矩阵A可逆,这样可以得出另外一个重要结论:可逆矩阵就是非奇异矩阵,非奇异矩阵也是可逆矩阵。如果A为奇异矩阵,则AX=0有非零解或无解。如果A为非奇异矩阵,则AX=0有且只有唯一零解。
非奇异矩阵
n 阶方阵 A 是非奇异方阵的充要条件是 A 为可逆矩阵也即行列式A的值不为零。
对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A,如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =I( I是单位矩阵),则称 A 是可逆的,也称 A 为非奇异矩阵。
一个矩阵非奇异当且仅当它的行列式不为零。
一个矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。
一个矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。
一个矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。
一个矩阵非奇异当且仅当它的秩为n
AX=b有唯一解
AX=0无解
A可逆
相似矩阵
设A,B为n阶矩阵,如果有n阶非奇异矩阵P存在,使得P^(-1)*A*P=B成立,则称矩阵A与B相似,记为A~B.
("P^(-1)"表示P的-1次幂,也就是P的逆矩阵, "*" 表示乘号, "~" 读作"相似于".)
相似矩阵性质
设A