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《通信原理》第七讲

§ 随机过程通过线性系统
通信系统中的信号或噪声一般都是随机的,因此在以后的讨论中我们必然会
遇到这样的问题:随机过程通过系统(或网络)后,输出过程将是什么样的过程?
线性系统的响应0 tv )( 等于输入信号i tv )( 与系统的单位冲击响应th )( 的卷
积,即
∞
vt0 ()=∗= vtii () ht () v (τ) ht ( −ττ) d (-1)
∫−∞
若 vt00()⇔ V (ω), vtii()⇔ V (ω), ht()⇔ H (ω),则有
VHV0 ()ω= ()()ωωi (-2)
若线性系统是物理可实现的,则
t
vt()=− v (τ) ht (ττ) d (-3)
0 ∫−∞ i
或
∞
vt()=− h (τ) vt (ττ) d (-4)
0 ∫0 i
如果把 i tv )( 看作是输入随机过程的一个样本,则0 tv )( 可看作是输出随机过
程的一个样本。显然,输入过程ξ i t)( 的每个样本与输出过程ξ 0 t)( 的相应样本之
间都满足式(-4)的关系。这样,就整个过程而言,便有
∞
ξ()thtd=−(τξ) ( τ) τ(-5)
0 ∫0 i
假定输入ξ i t)( 是平稳随机过程,现在来分析系统的输出过程ξ 0 t)( 的统计特
性。
一、输出过程ξ0 ()t 的数学期望
∞∞∞
E[ξ()]tE=−=−=[] h ()τξ( td ττ) hEtdahd () τ[ ξ( τ)] τ⋅() ττ
0 ∫∫00ii ∫ 0
因为
∞
H ()ω= hte ()jtω dt
∫0
求得
∞
H (0)= htdt ( )
∫0
所以
Et[()]ξ0 =⋅ aH (0) (-6)
由此可见, 输出过程的数学期望等于输入过程的数学期望与直流传递函数 H(0)
的乘积,且 E[ξ 0 t)( ]与 t 无关。

二、输出过程ξ0 ()t 的自相关函数
110 +τ= ξξ ttEttR 1010 +τ)]()([),(
∞∞
= []i 1 − i 1 −+ )()()()( dthdthE ββτξβααξα
∫0 ∫0
∞∞
= i 1 i 1 −+−)]()([)()( ddttEhh βαβτξαξβα
∫∫00
根据平稳性
ξi 1 αξi ttE 1 +−τ−β= Ri τ+α−β)()]()([
于是
∞∞
Rtt(,+=τ) h (αβ)( h ) R ( ταβαβ+−) dd = R () τ(-7)
011 ∫∫00 i 0
可见, ξ 0 t)( 的自相关函数只依赖时间间隔τ而与时间起点 t1 无关。由以上(1)
及(2)证明,若线性系统的输入过程是平稳的,那么输出过程也是平稳。

三、输出过程ξ0 ()t 的功率谱密度
∞
− jωτ
P0 ω= 0 )()( deR ττ
∫∞−
∞∞∞
= Rhh −+ ])()()([ − jωτ dedd τβα