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第八章圆锥曲线方程
轨迹和轨迹方程
第讲
4
(第一课时)
考点
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●曲线的方程与方程的曲线的概念,以及轨迹与轨迹方程的含义
●求轨迹方程的基本方法
高考
猜想
,求动点的轨迹方程(或轨迹图形).
.
1. 对于曲线C和方程F(x,y)=0,如果曲线C上的点的坐标都是____________________,且以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在________,则方程F(x,y)=0叫做___________,曲线C叫做_______________________.
2. 直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线是基本的轨迹图形,其中:
(1)在平面内,到两定点的距离相等的点的轨迹是__________________________.
方程F(x,y)=0的解
曲线C上
曲线C的方程
方程F(x,y)=0的曲线
连结两定点的线段的中垂线
(2)平面内到角两边距离相等的点的轨迹是__________.
(3)平面内到定直线的距离等于某一定值的点的轨迹是________________________.
(4),表示________;当常数等于1时,表示_______;当常数大于0而小于1时,表示______.
(5)平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是____.
角平分线
与这条直线平行的两条直线
双曲线
抛物线
椭圆
圆
3. 求动点的轨迹方程的基本方法有:
(1)如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系,这些条件简单明确,易于表达成含x,y的等式,就得到轨迹方程,这种方法称之为________.
(2)运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义),可从曲线定义出发直接写出轨迹方程,或从曲线定义出发建立关系式,从而求出轨迹方程,这种方法称之为________.
直接法
定义法
(3)动点所满足的条件不易表达或求出,但形成轨迹的动点P(x,y)却随另一动点Q(x′,y′)的运动而有规律的运动,且动点Q的轨迹为给定或容易求得,则可先将x′,y′表示为x、y的式子,再代入Q的轨迹方程,然后整理得P的轨迹方程,这种方法称之为_______.
(4)求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系,则可借助中间变量(参数),使x、y之间建立起联系,然后再从所求式子中消去参数,得出动点的轨迹方程,这种方法称之为_______.
代入法
参数法
(-2,0),N(2,0),点P为坐标平面内的动点,且满足则动点P的轨迹方程是( )
A. y2=8x B. y2=-8x
C. y2=4x D. y2=-4x
解:设点P(x,y),则
由已知可得
化简得y2=-8x,故选B.
B
(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中
点的轨迹方程是( )
A. (x-2)2+(y+1)2=1 B. (x-2)2+(y+1)2=4
C. (x+4)2+(y-2)2=4 D. (x+2)2+(y-1)2=1
解:设圆上任一点为Q(s,t),PQ的中点为A(x,y),
则解得将其代入圆的方程,
得(2x-4)2+(2y+2)2=4,整理得(x-2)2+(y+1)2=1.
A
(0,7)、B(0,-7)、C(12,2),以C为一个焦点作过A、B的椭圆,则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是( )
解:由题意|AC|=13,|BC|=15,|AB|=14,
又|AF|+|AC|=|BF|+|BC|,
所以|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2.
A
故点F的轨迹是以A、B为焦点,
实轴长为2的双曲线的下支.
又c=7,a=1,所以b2=48,
所以点F的轨迹方程为(y≤-1).