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矩阵
矩阵是线性代数的主要研究对象。它在线性代数与数学的许多分支中都有重要应用,许多实际问题可以用矩阵表达并用有关理论得到解决。
本章介绍矩阵的概念,矩阵的基本运算,矩阵的秩,可逆矩阵以及矩阵的初等变换,分块矩阵的概念及其运算。最后,利用矩阵的有关概念与方法讨论线性方程组的解法及有解的条件。
第一节矩阵的概念
在初等数学中,可用代入消元法或加减消元法解线性方程组,我们将由此引入矩阵的概念。
解线性方程组

解由消元法,我们按下述的步骤求解这个方程组。
将方程两端同时乘以(—2)加至方程的两端(简述为方程的(—2)倍加至),的(—2)倍加至,得

交换与,得

的(—3)倍加至,得
两端乘,得

的3倍加至,的(—1)倍加至,得

的1倍加至,得

两端乘,得

可以看出,、及给出了方程组的解。
,实际上是对方程组施行如下的操作或变换,称之为线性方程组的初等变换
交换两个方程在方程组中的位置;
一个方程的两端同时乘以一个不等于零的数;
一个方程的两端乘以同一个数后加至另一个方程的两端。
不难看出,线性方程组经初等变换后,所得方程组解的集合与原方程组解的集合相同
称解的集合相同的线性方程组为同解方程组。同时我们也发现,方程组的初等变换实质上是方程组中未知数系数和常数项的变换,那么方程组的求解过程可用数表表示为

由此可以看出,将方程组未知数的系数和常数项排成一个数表,由此建立起方程组和数表之间的一一对应关系,将对方程组所作的初等变换转换为数表之间相应的变换,这样不仅运算简捷,而且抓住了问题的实质,便于揭示线性方程组的内在规律。因此,凯莱在1857年引入了数学上的一个强有力的工具——矩阵。
有mn个数(i=1~m; j=1~n)排成的m行n列的数表

称为一个m行n列矩阵,简称m´n矩阵, 表示位于矩阵中第i行第j列的数,又
称为矩阵的元素。矩阵用大写的英文字母A、B等表示。以为元素的矩阵也可简记为
A=。特别地,当m=n=1时,定义()=。
元素都是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵,本书中的矩阵除特别
说明外,都指实矩阵.
下面介绍几种常用的特殊矩阵。
(1)行矩阵和列矩阵
仅有一行的矩阵称为行矩阵(也称为行向量),如
A=
也记为
A=
仅有一列的矩阵称为列矩阵(也称为列向量),如
A =
(2)零矩阵:若一个矩阵的所有元素都为零,则称这个矩阵为零矩阵,如,一个m´n的零矩阵为
记为,在不会引起混淆的情形下,也记为O。
(3)方阵行数和列数相同的矩阵称为方阵,例如,
A=
为n´n方阵,常称为n阶方阵或n阶矩阵,常记为A=
(4)对角矩阵主对角元以外的元素全为零的方阵称为对角矩阵。如
A=
为n阶对角矩阵,其中未标记出的元素全为零,即=0,常简记为A=。
(5)单位矩阵主对角线上的元素全为1的对角阵称为单位矩阵,简记为E或,如
=
表示n阶单位阵
(6)数量矩阵主对角线上的元素全为k的对角阵称为数量矩阵,如
其中k是常数
为一n阶数量矩阵。
(7)三角矩阵主对角线上(下)方的元素全为零的方阵称为下(上)三角矩阵,如

为n阶下三角矩阵,即=0,
(8) 对称矩阵与反对称矩阵在方阵A=中,如果,则称A为对称矩阵。如果A还是实矩阵,则称A为实对称矩阵。如果,则称A为反对称矩阵。
行数与列数都相等的两个矩阵称为同型矩阵。
设矩阵A=与矩阵B=是两个同型矩阵,如果= .
则称矩阵A与矩阵B相等,记做A=B
第二节矩阵的运算
一、矩阵的加法
设A=,B=是两个同型矩阵,称m´n矩阵C=
为矩阵A与矩阵B的和,记为A+B
若引进矩阵

称之为矩阵A=的负矩阵,记为—A。
矩阵A与矩阵B的差则定义为
A—B= A+(—B)
由定义,不难验证,矩阵的加法满足下面的运算律:
设A、B、C是同类型矩阵,则
(1)A+B=B+A(加法的交换律);
(2)(A+B)+C=A+(B+C)(加法的结合律);
(3)A+O=O+A=A,其中O是与A同类型的零矩阵;
(4)A+(—A)=O.
=,B=,求A+B及A—B.