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让微积分在生活中闪现
求是科学班(生物) 组长:张浩然3120000404
组员:陈扬3120000525 张超凡3120000059 董璨3120000479 郑诗璐3120103514 夏晴3120103737 韩韦韦3120000259 陈奕希3120000591
【摘要】本文选取了生活中或大或小的事物,以微积分的眼光来探讨怎样才能更好的掌握自然的规律。对理性恋爱,林间小道,预测人口作了简要分析。
【关键字】微积分理性恋爱林间小路人口数量
导言
微积分作为敲开理科大门的基础学科,总是渗透在我们生活的方方面面。我们应用微积分的基础知识,在理性恋爱、林间小道、生物上的应用上进行简单分析,让大家初步感受数学的美妙。
从欧拉公式到理性恋爱
笔者们动稿时,恰逢欧拉日,说道欧拉,不得不提那简约美的欧拉公式:。万事万物都在自然规则之下,而在理科生的恋爱中,也有一个神奇的公式。
在现实中,面对男生们前仆后继的表白,女生们也少不了这样的纠结。如果遇到了一个优秀的男生,应该接受还是拒绝呢?如果接受了他,万一下一个更好的话那可就亏大了;可如果为此而拒绝掉一个又一个好男人,也会面对着“过了这个村就没这个店”的风险。说不定白马王子们都已经擦肩而过,到最后就只剩下了猥琐男了,当初的拒绝明显得不偿失。
由于没人能知道真正的缘分何时到来,没人能知道下一个来求爱的男生会是什么样子,接受表白的时机早晚实在很难决定。怎么办?去向《非诚勿扰》的黄菡老师和乐嘉老师请教一下?其实你还可以向欧拉老师请教一下。你没听错。大数学家欧拉对一个神秘的数学常数 e ≈ 深有研究,这个数字和“拒人问题”竟然有着直接的联系。
数学模型:
假设根据过去的经验,女生可以确定出今后将会遇到的男生个数,比如说 15 个、30 个或者 50 个。不妨把男生的总人数设为 n。这 n 个男生将会以一个随机的顺序排着队依次前来表白。每次被表白后,女生都只有两种选择:接受这个男生,结束这场“征婚游戏”,和他永远幸福地生活在一起;或者拒绝这个男生,继续考虑下一个表白者。我们不考虑女生脚踏两只船的情况,也不考虑和被拒男生破镜重圆的可能。最后,男人有好有坏,我们不妨假设女生心里会给男生们的优劣排出个名次来。
聪明的女生会想到一个好办法:先和前面几个男生玩玩,试试水深;大致摸清了男生们的底细后,再开始认真考虑,和第一个比之前所有人都要好的男生发展关系。从数学模型上说,就是先拒掉前面 k 个人,不管这些人有多好;然后从第 k+1 个人开始,一旦看到比之前所有人都要好的人,就毫不犹豫地选择他。不难看出,k 的取值很讲究,太小了达不到试的效果,太大了又会导致真正可选的余地不多了。这就变成了一个纯数学问题:在男生总数 n 已知的情况下,当 k 等于何值时,按上述策略选中最佳男生的概率最大。
对于某个固定的 k,如果最适合的人出现在了第 i 个位置(i>k)则
用 x 来表示 k/n 的值,并且假设 n 充分大,则上述公式可以写成:
对-x · ln x 求导,并令这个导数为 0,可以解出 x 的最优值,它就是欧拉研究的神秘常数的倒数—— 1/e !
也就是说,如果你预计求爱者有 n 个人,你应该先拒绝掉前 n/e 个人,静候下一个比这些人都好的人。假设你一共会遇到大概 30 个求爱者,就应该拒绝掉前 30/e ≈ 30/ ≈ 11 个求爱者,然后从第 12 个求爱者开始,一旦发现比前面 11 个求爱者都好的人,就果断接受他。由于 1/e 大约等于 37%,因此这条爱情大法也叫做 37% 法则。
可见,微积分清晰明了的揭示了爱情中的规律。
从二次曲面到林中小道
饭后在树林中散步、聊天,是多么安逸的生活。而踏在脚下的小径,也不是想象中的小,下面让我们用微积分来看看这小路的面积吧~
生活中这种小路的形状常常符合曲线模拟。
图3-1
一元三次函数以小路(曲线)的左侧弯曲之处以原点,建立平面笛卡尔直角坐标系。
(1)求曲线弧长
由平面弧长公式(Ⅱ)

图3-2
a
此积分是椭圆型积分,无法直接积分,当取具体值时,可用Mathmatic软件
计算出近似具体值[3]。例如,则
(2)小径面积
把看做型区域:
由积分面积公式(Ⅲ)

当即则是最简单的一类。
实际运算中需测量出小径的水平宽度a,竖直长度h(h=2a) 代入运算即可。而次常数在平时也能目测算个大概。
在和朋友逛林间小道时能脱口而出小道面积时,是不是很拉风呢。
从简单模型到人口数量
在人口爆炸的当今社会中,预测下一步的人口走势已经不再是杞人忧天的问题,是生死攸关的问题,我们不妨做最坏的打算,来试试不加控制的人口会怎么