泰勒公式及应用.doc

目录
摘要………………………………………………………………………………1
英文摘要…………………………………………………………………………2
第一章绪论……………………………………………………………………3
第二章泰勒公式………………………………………………………………5
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第三章泰勒公式的实际应用………………………………………………7
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结束语………………………………………………………………………………16
致谢…………………………………………………………………………………17
参考文献…………………………………………………………………………18
第一章绪论
近代微积分的蓬勃发展,促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究,特别是泰勒,笛卡尔,费马,巴罗,,,对于一般函数,设它在点存在直到阶的导数,由这些导数构成一个次多项式

称为函数在点处的泰勒多项式,若函数在点存在直至阶导数,则有即
称为泰勒公式.
众所周知,泰勒公式是数学分析中非常重要的内容,它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具,集中体现了微积分“逼近法”的精髓,在近似计算上有着独特的优势,利用它可以将非线性问题化为线性问题,并能满足很高的精确度要求,在微积分的各个方面都有重要的应用. 泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用,它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面.
关于泰勒公式的应用,已有许多专家学者对它产生了浓厚的兴趣,它们对某些具体的题目作出了具体的解法,如求极限,判断函数凹凸性和收敛性,求渐近线,,但也还有很多方面学者还很少提及,因此在这泰勒公式及其应用方面我们有研究的必要,并且有很大的空间.
泰勒公式不仅在极限和不等式证明中能解决许多问题,,,我们必须掌握它,用泰勒公式这一知识解决更多的数学实际问题.
第二章泰勒公式

泰勒公式的意义是,,易于计算等优点.
泰勒公式由的次泰勒多项式和余项组成,我们来详细讨论它们.
当=1时,有
,
是的曲线在点处的切线(方程),称为曲线在点的一次密切,显然,切线与曲线的差异是较大的,只是曲线的近似.
当=2时,有
,
是曲线在点的“二次切线”,,,接近程度越来越密切,近似程度也越来越高.

泰勒公式的余项分为两类,一类是定性的,一类是定量的,它们的本质相同,,仅表示余项是比(当时),表示当时,用近似,误差(余项)(也可以写成)、柯西余项(如在某些函数的幂级数展开时用).定量的余项一般用于函数值的计算与函数形态的研究.

(1)带有佩亚诺(Peano)型余项的泰勒公式
如果函数在点的某邻域内具有阶导数, 则对此邻域内的点,有
当时, 上式称为麦克劳林(Maclaurin)