矢量分析简介.doc

天津大学电子信息工程学院
二零一四年
目录
一、标量场和矢量场 1
二、矢量的通量散度 6
三、矢量的环流旋度 9
四、标量场的梯度 12
五、亥姆霍兹定理 15
小结 16
习题 18
附录1 电磁场与电磁波主要物理量符号和单位 20
附录2 重要的矢量公式 24
一、标量场和矢量场
物理量场的概念是指,在空间区域的每一点,都有该物理量确定的值与之对应。即物理量数值的无穷集合表示一种场。如果此物理量为标量(一个仅用数值就可以表示的物理量,如温度),这种场就称为标量场,如温度场、密度场、电位场等。如果此物理量为矢量(需要用数值及方向表示的物理量,如速度),这种场就称为矢量场,如速度场、力场、电磁场等。仅与空间有关的场,称为静态场;与空间、时间都相关的场,称为动态场。
矢量:可以用一段有向线段来表示,如图1-1所示,记为,为的模。线段长度表示模的大小,箭头是的方向。
图1-1 矢量表示
单位矢量:用来表示矢量的方向,记为,其模为1,即:

(1-1)
三种常用的坐标系:
圆柱坐标系、球坐标系对应的自变量与三个矢量方向关系,分别如图1-2、图1-3所示。
图1-2 圆柱坐标系参量示意图
图1-3 球坐标系参量示意图
位置矢量:从坐标原点指向空间位置点的矢量,记为。对直角坐标系有。与空间位置点有着一一对应的关系,即空间位置点可以用位置矢量表示。
三维空间的矢量场可以分解为三个分量场, 。其中为标量场。
矢量的乘法分为矢量的标积和矢量的矢积。矢量的标积结果为标量,计算公式为:
(1-2)
其中为矢量和的夹角。
矢量的矢积结果为矢量,计算公式为:
(1-3)
其中为矢量和的夹角。
场图:研究标量场和矢量场在空间逐点演变情况的直观方法。对于标量场,通常用等值线或等值面来表示,即标量场内物理量相等的点集合形成的线或面,如图1-4所示。若标量场为,令,即可求得等值线或等值面。

图1-4标量场的等值面图1-5 矢量场的力线
对于矢量场则常用力线(也称为场线)来表示场图,即矢量场中一簇空间有向曲线,如图1-5所示。矢量场的大小用力线的疏密程度表示,力线稠密矢量场就大,反之力线稀疏处则矢量场就小。力线图曲线上每一点的切线方向为此处矢量场的方向。矢量场的力线可以通过微分方程求得。设
为力线上某一点的切向微分矢量,为该点的矢量,由于
该点的矢量方向即为该点的切向方向,即与同向,故满足:
(1-4)
对直角坐标系,有,,代入上式可推得:
(1-5)
解此微分方程即可求得力线图。
例1-1 有一个二维矢量场
求:力线方程,绘制场图。
解:本题,由(1-5)式可知,
,
即,
两边同时积分,整理得
其中c为常数。即力线方程为圆方程。
再观察矢量的特点,有
则
其中为与轴夹角,为与轴夹角。即的大小与圆的半径成正比,的方向如图1-6所示,场图如图1-7所示。

图1-6 矢量场的力线方向图1-7 矢量场的场图
矢量的通量散度
1、面元矢量:,,为面积微分单元,简称面积元,为面元的单位矢量。
面元方向的定义:
对于由一条闭合曲线围城的开表面,当该曲线环绕方向确定后,采用右手螺旋法则确定面元方向。即右手的四指(除拇指之外)沿着曲线环绕方向进行环绕,此时拇指方向即为面元方向。如图2-1所示。
对于闭合面,其面元方向定义为外法线方向,如图2-2所示。

图2-1开表面面元方向图2-2闭合面面元方向
2、通量:矢量垂直穿过一个曲面的总量。
(2-1)
其中为矢量与的夹角。通量是标量。
穿过任意闭合面上的通量有特殊意义:
3、散度:研究矢量场在一个点附近的通量特性。表示从该点单位体积内散发出来的通量,表征通量源强度,又称散度源(称矢量场通量源)。
(2-2)
与大小形状无关,与沿空间位置变化有关。
(2-3)
直角坐标系下: (2-4)
圆柱坐标系下: (2-5)
球坐标系下: (2-6)
引入拉梅系数可使三种坐标系的矢量散度公式用统一表达式描述。
表2-1 三种坐标系的拉梅系数
坐标系拉梅系数
直角坐标系
1 1 1
圆柱坐标系
1 1
球坐标系
1
用拉梅系数表示的矢量散度表达式:
(2-7)
式中、、对应不同坐标系的三个自变量,例如,直角坐标系是,圆柱坐标系是,球坐标系是。将对应的坐标系的拉梅系数及自变量代入上式,即可以得到相应坐标系的散度公式。
4、散度定理(又称高斯公式):
(2-8)
即矢量散度的体积分等于矢量的闭合面积分,揭示了散度与通量关系。
例2-1:矢量场,计算穿过一个球心为坐标原点、半径为的球面的通量,并求散度。
解:采用球坐标
采用球坐标