第4章 连续系统的频域分析.ppt

第4章连续系统的频域分析
信号的正交分解与傅里叶级数
信号的频谱
傅里叶变换的性质
线性非时变系统的频域分析
傅里叶变换计算机模拟举例
信号的正交分解与傅里叶级数
信号的正交分解
数学上给定条件下的函数可展开为由某种基本函数形式所构成的一组多项式,例如函数的泰勒级数展开式。信号是随时间变化的函数,在一定条件下也可展开成这样一组多项式。这就是信号的分解,用式(4―1)描述:
(i,n为整数) (4―1)
当上述函数集中任意两个函数φi(t),φj(t)之间,在区间
例如,三角函数集{1,cosΩt,cos2Ωt,…,cosmΩt,…,sinΩt,sin2Ωt,…,sinnΩt,…}在区间(t0,t0+T)(式中T=2π/Ω)组成正交函数集,而且是完备的正交函数集。这是因为
(ki为与之有关的常量)
(4―2)
(4―3)
即三角函数集满足正交性式(4―2),因而是正交函数集。其完备性这里不去讨论。
对于调幅信号(ω=5Ω)
f(t)=A(1+BcosΩ)cosω(4―4)
利用三角公式2cosαcosβ=cos(α-β)+cos(α+β)可写为
f(t)=Acosωt+ ½ ABcos(ω-Ω)t+½
ABcos(ω+Ω)t(4―5)
式(4―5)即是信号f(t)在三角函数集上的正交分解。。
调幅信号及其频谱
傅里叶级数
19世纪初叶,法国数学家吉·傅里叶证明:任何正常的周期为T的函数f(t)都可分解为无限个正弦和余弦函数的代数和。即
通常称(4―6)式为傅里叶级数。如果已知f(t),则可通过式(4―7)、(4―8)和(4―9)分别求出an,bn,c的值。
(4―6)
(4―7)
(4―8)
(4―9)
根据三角函数的运算法则,式(4―6)还可写成式(4―10)。
(4―10)
(4―11)
(4―13)
(4―12)
式(4―6)还可写为如下形式