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数学文化课堂演讲
康童
拓扑学趣谈
“抽象”是数学的武器,是数学的优势。在几何学中,“抽象”的思想十分重要。
欧氏几何:
实物:太阳,地球,车轮
研究距离、角、“刚性”图形
哥尼斯堡七桥问题:
欧拉从实际出发,
问题与岛的大小,桥的长短、曲直等因素无关。
r
抽象
→
圆
实质:位置关系
抽象
→
抽象
→
抽象
→
岛、岸点桥线问题一笔画问题
拓扑学——“橡皮几何学”
有人把拓扑学说成是“橡皮几何学”, 因为橡皮膜上的图形,随着橡皮膜的拉动,其长度、曲直、“有多长”、“有多大”之类的问题是毫无意义的.
这种研究相对位置关系,忽略距离、角度等的几何叫做拓扑学
但橡皮几何里也有一些图形的性质保持不变.
例如:点变化后仍然是点,线变化后仍旧是线,平行的图形绝不因橡皮的拉伸和弯曲变得不平行,闭合曲线拉伸后仍是闭合的。
拓扑学正是研究此类不随橡皮膜拉伸弯曲而改变的性质(拓扑性质)的学科
橡皮膜的拉伸和压缩(只要不撕破,不粘连)叫做拓扑变换,这样形成的曲面是拓扑等价的。
拓扑变换可以一个带把茶杯变成救生圈
可以把一个打孔的轮胎内侧面通过小孔翻转到外面。
四色定理
莫比乌斯带与克莱因瓶
纽结
若尔当曲线定理
多面体欧拉公式
欧拉
黎曼
庞加莱
江泽涵
著名研究问题:
莫比乌斯带
克莱因瓶
纽结
四色定理
“拓扑学”(topology)一词由高斯的学生李斯廷于1847年提出,意思为“测地学”,又译为“位置解析”
若尔当曲线定理
平面上任何一条简单的封闭曲线(首尾相连且不与自身相交)恰好把平面分成“内部”(图中蓝色)和“外部”(粉色)两个区域。
曲线的“内部”和“外部”是不随拉伸橡皮膜改变的。
哈里发嫁女问题
古波斯穆罕默德的继承人哈里发,有一个才貌双全的女儿。姑娘的智慧和美貌,远近闻名,求婚者络绎不绝。哈里发决定从中挑选一位才智超群的青年做女婿,于是便出了一道题目,声明谁能解出这道题,便将女儿嫁给谁!
根据若尔当曲线定理:分别在曲线内部和外部的两点连线一定会经过边界。
因此,要想把这一对③相连,又与闭曲线不相交,是不可能的!这正是哈里发悲剧所在。
哈里发的题目说来也简单:请用线把右图中写有相同数字的小圆圈连接起来,但所连的线不许相交。
这个问题,同学们,你们怎么看?
这道题在平面上无解!!!
证明:事实上,我们可以很容易用线把①—①、②—②连起来。我们得到了一条简单的闭曲线,把整个平面分为内部(阴影部分)和外部两个区域。其中一个③在内部区域,而另一个③却在外部区域。
多面体欧拉定理
对于各种不同的多面体,虽然它们的形状、大小各不相同;顶点数V,棱数E,面数F也在变化,但以下规律是不变的:
V-E+F=2
这就是多面体的欧拉公式
相信大家已经对这个公式很熟悉了,但或许还不知道怎样证明它
下面我们证明该公式对所有简单多面体成立(以正方体为例)
,即去掉一个平面,将剩余部分压至一个平面上,现只需证对于平面网络V-E+F=1成立(顾老师讲到的“渔网的规律”)
此后,我们在不改变V-E+F值的前提下使这个平面网络变得简单
,进行三角形分割,对于还不是三角形的多边形陆续引进对角线,一直到全部成为三角形为止,F′-E′+V′的值没有变。
,此时F′-E′+V′的值一直没有变。
不断进行直到只剩下一个三角形为止
,F′-E′+V′仍然没有变。最后只剩一条线段,它的顶点数为2,棱数为1,区域(面)数为0,即F′-E′+V′=1成立,欧拉公式得证。
大家知道,正三角形、正四边形、正五边形、正六边形等等……正n边形都是存在的,对于正多面体是否也如此呢?是否正四面体,正五面体,正六面体,正七面体等等都存在呢?
正多面体是指各面都是全等的正多边形,每个顶点出发都有相同棱数的凸多面体。
不是,古希腊人发现正多面体只有5种:正四面体,正六面体,正八面体,正十二面体和正二十面体。用欧拉公式可以很好地证明这一结论。