计算方法4_常微分方程数值解法.ppt

常微分方程的数值解法
Numerical Solutions to Ordinary Differential Equations
对象
一阶常微分方程初值问题:
一阶常微分方程组初值问题:
高阶常微分方程初值问题:
()
一阶常微分方程初值问题:
实际工程技术、生产、科研上会出现大量的微分方程问题很难得到其解析解,有的甚至无法用解析表达式来表示,因此只能依赖于数值方法去获得微分方程的数值解。
a
b
x0 x1 x2 ... xn-1 xn
用数值方法,求得y(x)在每个节点xk 的值y(xk ) 的近似值,用yk 表示,即yk ≈y(xk),这样y0, y1,...,yn称为微分方程的数值解
求y(x)————>求y0, y1,...,yn
?
微分方程的数值解法:
不求y=y(x)的精确表达式,而求离散点x0,x1,…xn处的函数值
设() 的解y(x)的存在区间是[a,b],初始点x0=a,取[a,b]内的一系列节点x0, x1,...,xn。a= x0< x1<…< xn =b,一般采用等距步长
思路
计算过程:
方法:采用步进式和递推法
将[a,b]n等分, a= x0< x1<…< xn =b,步长h=(b-a)/n ,xk=a+kh
怎样建立递推公式?
Taylor公式
数值积分法
Euler 公式
思想: 用向前差商近似代替微商.
()
欧拉公式(Euler Scheme)
几何意义
y(x)过点P0(x0,y0)且在任意点(x,y)的切线斜率为f(x,y)
y(x)在点P0(x0,y0)的切线方程为:
y=y0+f(x0,y0)(x-x0)
在切线上取点P1 (x1,y1)
y1=y0+f(x0,y0)(x1-x0)
y1正是Euler 公式所求
4. 类似2,过P1以f (x1,y1)为斜率作y(x)的切线,在其上取点
P2(x2,y2),依此类推…
P1 P2 …Pn…作为曲线y(x)的近似
——欧拉折线法
x
p0
p1
p2
p3
p4
x0
x1
x2
x3
x4
y
y(x)
思想: 用向后差商近似代替微商.
欧拉法(续)
用隐式欧拉法,每一步都需解方程(或先解出yn+1的显式表达式),但其稳定性好。
隐式欧拉公式
()
整体误差ek=y(xk)-yk,下面对其加以分析
y1=y0+hf(x0,y0)=1+×(1-0/1)=
y2=y1+hf(x1,y1)=+×(-2×)=
y3=y2+hf(x2,y2)=…
其精确解为