第四节 条件概率 全概率公式.ppt

第四节条件概率全概率公式
、条件概率乘法公式
事件的相互独立性
1、条件概率的定义
设A、B是两个事件,且P(B)>0,则称
为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率。
若事件B已发生,则为使A也发生,试验结果必须是既在B中又在A中的样本点, 即此点必属于AB。由于我们已经知道B已发生,故B变成了新的样本空间, 于是有(1)式。
掷骰子
已知事件B发生,此时试验所有可能结果构成的集合就B,
于是P(A|B)= 1/3.
B中共有3个元素,它们的出现等可能的,其中只有1个在集A中,
P(A )=1/6,
B={掷出偶数点},
P(A|B)?
例如,掷一颗均匀骰子A={掷出2点},
易得到:
例1 ,。如果现在有一个20岁的这种动物,问它能活到25岁以上的概率是多少?
解设A表示“能活到20岁以上”, B表示“能活到25岁以上”。
则
由已知
从而所求的概率为
由条件概率的定义:
即若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (2)
而 P(AB)=P(BA)
2、乘法公式
若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB).
将A、B的位置对调,有
故 P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A) (3)
若P(A)>0,则P(BA)=P(A)P(B|A)
(2)和(3)式都称为乘法公式,利用
它们可计算两个事件同时发生的概率
例2 在100件产品中有5件是次品,从中连续无放回地抽取3次,问第三次才取得次品的概率。
解:设表示“第i次取得次品”(i=1,2,3),B表示“第三次才取到次品”,则
3、事件的相互独立性
对乘法公式 P(AB)=P(A)P(B|A) ,有的问题中事件B发生的概率与事件A发生的条件下事件B发生的概率是相等的,即
相当于无条件概率,B是否发生与A无关,从而
此时称A与B是相互独的。
我们也称A ,B,C 是相互独立的事件。
对三个事件A,B,C,如果成立:
定理若事件A与B是相互独立的,则
, 与都是相互独立的。
与
例 3 一个均匀的正四面体,将第一面染成红色,第二面染成白色,第三面染成黑色,第四面同时染上红、白、黑三种颜色,如果以A、B、C分别表示投掷一次正四面体时红、白、黑颜色着地的事件,由于在四个中两面上着红色故
同理可知
对以上三事件A、B、C,成立:
对于多个随机事件,若是相互独立的,则n 个事件中至少有一个发生的概率为
但
所以A、B、C三事件不是相互独立的,但它们是两两独立的。