函数的单调性.doc

精锐教育学科教师辅导讲义
讲义编号11sh11sx00
学员编号: 年级:高二课时数:3
学员姓名: 辅导科目:数学学科教师:
课题
函数的定义域和解析式
授课日期及时段
教学目标
掌握定义域的常见求法及其在实际中的应用
掌握求函数解析式的几种常用方法:待定系数法、配凑法、换元法等,能将一些简单实际问题中的函数的解析式表示出来
教学内容
一、知识点梳理及运用
知识点一、函数的单调性定义
定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I, 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2)(f(x1)>f(x2)),那么就说f(x)在区间D上是增函数(减函数),且D为f(x)的单调区间
复合函数单调性:设复合函数y= f[g(x)],其中u=g(x) , A是y= f[g(x)]定义域的某个区间,B是函数g(x) 在A上的值域:
①若u=g(x) 在 A上是增(或减)函数,y= f(u)在B上也是增(或减)函数,则函数y= f[g(x)]在A上是增函数
②若u=g(x)在A上是增(或减)函数,而y= f(u)在B上是减(或增)函数,则函数y= f[g(x)]在A上是减函数
总结:同增异减
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤:
①任取x1,x2∈D,且x1<x2
②作差f(x1)-f(x2)
③变形(通常是通分、因式分解和配方)
④定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负)
⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)
函数增减性的运算:
①增增=增;减减=减;增减=增;减增=减
②一般地,若增(减),则减(增);若增(减),则减(增);乘以正数或开根号增减性不变
典型例题
例1、(单调性的判断或证明)
(1)证明函数在(0,1]上是减函数,在是增函数
(2)讨论函数在(-2,2)内的单调性
【变式训练】
(1)求证:函数在区间上是减函数,在上是增函数
(2)证明函数在是增函数
(3)函数是( )
(A)(3,+∞)上的增函数(B)[3,+∞)上的增函数
(C)(3,+∞)上的减函数(D)[3,+∞)上的减函数
(4)试讨论函数在区间上的单调性
(5)试讨论函数在内的单调性
例2、(单调区间)
(1)(平移)函数的递减区间是
(2)(配方)函数的递减区间是
(3)(图像)型函数的递增区间是
(4)(复合函数)函数的递减区间是
【变式训练】
(1)型函数的递减区间是
(2)函数的递增区间是
(3)用单调性定义讨论函数的单调区间
(4)作出函数的图象,并求函数在R上的单调区间
【方法总结】
1、利用定义证明函数单调性第三步变形的方法除通分、因式分解和配方外,还有分子有理化,如果证明的单调区间过多,可先不确定范围,最后再分区间讨论
2、求函数单调区间的常用方法:定义法、平移、利用已知函数的单调性、图像和复合函数
知识点二、函数单调性的应用
常用结论:
奇函数在其对称区间上的单调性相同
偶函数在其对称区间上的单调性相反
典型例题
例1、(比较大小)已知偶函数在x上单调递减,则与的大小关系是( )
(A)> (B)= (C)< (D)不能确定
【变式训练】
(1