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平面图形的面积
1.  关于面积的两点重要知识
(1)相似三角形的面积比等于相似比的平方
例1(第2届美国数学邀请赛题)如图40-1,在△ABC的内部选取一点P,过P点作三条分别与△ABC的三条边平行的直线,这样所得的三个三角形t1、t2和t3的面积分别为4,△ABC的面积.
解  设T是△ABC的面积,T1、T2和T3分别是三角形t1、t2和t3的面积;c是边AB的长,c1、c2和c3分别是平行于边AB的三个三角形t1、,由四个三角形相似,得
(2)两边夹角的三角形面积,灵活运用△ABC的面积公式
S= 可以方便地解决一些较难的面积问题.
例2已知P、Q、R、S四点分别由四边形的四个顶点A、B、C、D同时开始沿四边形各边依反时针方向以各自的速度作匀速直线运动(如图40-2),已知P由A至B,R由C至D分别需要两秒钟;Q由B至C,S由D至A分别需要1秒钟;问开始运动后,经过多少时间,四边形PQRS的面积最小?
解设P的速度是 Q的速度是;R的速度是,S的速度
(0<t≤1)秒时,AP=
设四边形PQRS和四边形ABCD的面积分别为S′、S.
①
②
③
④
①+③得,
②+④得,
当t= ‘有极小值.
答:经过3/4 秒后,四边形PQRS面积最小.
下面是一个用不等式来证明相等问题的例子.
例3(1982年英国数学奥林匹克竞赛试题).,证明:如果2A=OP2+OQ2+OR2+OS2
那么PQRS是正方形并且O是它的中心.
证明  如图40-3,按题设有
p2+q2+r2+s2=pqsinα+qrsinβ+rssinγ+spsinδ
≤pq+qr+rs+sp            ①
依题设、①取等号有
sinα=sinβ=sinγ=sinδ=1
00<α,β,γ,δ<1800
α=β=γ=δ=900
由②取等号有p=q=r=s
因此PQRS是正方形,O是它的中心.

等积变换的特点是利用图形之间的面积相等或成比例的转换来解题.
例4(第17届苏联竞赛题)图40-::无阴影的三个四边形的面积也相等.
证明  如图:连ME、NC.
∵S△NME=S△CEM,
∴ME∥NC.
若设则由上式可得
解以上三式的联立方程组可得
这样, 则N为BE中点.
又 SΔAMF=SΔMNP
同理可证 S四边形BNMF =S四边形CPND
S四边形BNMF=S四边形AMPE