佩尔方程.doc

x^2 - dy^2 = ±1,±4 ( x,y∈Z,正整数d不是平方数) 是 x^2 - dy^2 = c 的一种特殊情况,称为沛尔(Pell)方程。
这种二元二次方程比较复杂,它们本质上归结为双曲线方程 x^2 - dy^2 = c 的研究,其中c,d都是整数,d > 0 且非平方数,而 c ≠ 0。它主要用于证明问题有无数多个整数解。对于具体的d可用尝试法求出一组成正整数解。如果上述pell方程有正整数解(x,y),则称使 x + yd^ 的最小的正整数解为它的最小解。
x^2 - dy^2 = 1 ( x,y∈Z,正整数d不是平方数)必有正整数解,且若设它的最小解为(x_1,y_1),则它的全部解可以表示成:
  
(特殊方程之佩尔方程1)
上面的公式也可以写成以下几种形式:
  
(特殊方程之佩尔方程2)
  
(特殊方程之佩尔方程3)
  
(特殊方程之佩尔方程4)
x^2 - dy^2 = -1 ( x,y∈Z,正整数d不是平方数)要么无正整数解,要么有无穷多组正整数解,且在后一种情况下,设它的最小解为(x_1,y_1),则它的全部解可以表示为

  
(特殊方程之佩尔方程3)
若一个丢番图方程具有以下的形式:
且n为正整数,则称此方程为佩尔方程(英文:Pell's equation 德文:Pellsche Gleichung)
若n是完全平方数,则这个方程式只有解(实际上对任意的n,都是解)。对于其余情况,拉格朗日证明了佩尔方程总有解。而这些解可由的连分数求出
另外,当n为偶数时,x2 − ny2 = − 1形式的方程无整数解
佩尔方程的解
设是的连分数表示:的渐近分数列,由连分数理论知存在 i 使得(pi,qi) 为佩尔方程的解。取其中最小的 i,将对应的(pi,qi) 称为佩尔方程的基本解,或最小解,记作(x1,y1) ,则所有的解(xi,yi) 可表示成如下形式:
或者由以下递推公式得到:
例子
首先根据根号7的渐进连分数表示,找出前几项,察看(分子,分母)是否是一组解。
第一项:, 不是解;
第二项:, 不是解;
第三项:, 不是解;
第四项:, 是解。
于是最小解是(8,3)。计算的各次乘方,或者用递推公式(不能直接得出某一项)就可以得到接下来的各组解
(8,3)、(127,48)、(2024,765)、(32257,12192)、(514088,194307)、(8193151;3096720)、(130576328,49353213) ......
与代数数论的联系
佩尔方程与代数数理论有紧密联系,因为公式给出了环(即二次域)上的范数。因此(x,y)是佩尔方程的解当且仅的范数是一,即是域上的一个单元。根据迪利克雷单元定理,的所有单元都可以表示为同一个基本单元的乘方形式。这就是说一个佩尔方程的所有的解都是一个基本解的乘方。单元总可以通过解一个类似佩尔方程而得到,但这时的基本解并不一定就是基本单元。
与切比雪夫多项式的联系
佩尔方程和切比雪夫多项式有内在的联系:若Ti (x)和 Ui (x)分别是第一类和第二类切比雪夫多项式的相应项,那么它们是佩尔形式方程的解。