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佩尔方程与群牛问题
——王元
1、佩尔方程
所谓佩尔方程即方程
,
其中d为非零整数,试求正整数解 x, y.
例如 d=5, 我们有解 x=9, y=4
我们总可以假定 d>0, 而且不是一个平方,否则,无解。
这是一个不定方程,或丢番图方程。
2、简史
这个方程跟英国数学家佩尔(J. Pell, 1610-1685)无关。
欧拉(L. Euler)错误地将这个方程的一个解法归于佩尔。这个解法是另一个英国数学家布龙克尔(W. Brouncker)为响应费马(Fermat 1601-1665)的挑战而发明的,但欲改变欧拉的提法总是无效的。
布龙克尔的方法本质上等同于至少早六个世纪的印度数学家就知道的一个方法。我们也看到,这个方程曾出现在希腊数学中,但并无证据证明希腊人能解出这个方程。
一个非常清楚的“印度人的”或“英国人的”解佩尔方程的方法包含在欧拉的
书“代数学”(1770)中。
现代教科书利用连分数来表述这个方法,例如华罗庚“数论导引”。这也是欧拉提供的。
这个方法证明了,若存在一个解,则这个方法就能够找出一个解。
拉格朗日(Lagrange 1736-1813)于1773年第一个发表了这样一个证明,即佩尔方程总有一个解。
3、最小解
我们将佩尔方程改写为
若按的大小排序,其中最小者记为
这称为最小解,其他解都是的方幂,即
否则通过除法即可知不是最小解了。
4、解法
考虑 d=14 将展成连分数
截取一段
所以得最小解.
,其次小的解由
得出,我们有下面的表
n

1
2
3
……
6
15 4
449 120
13455 3596
……
362074049 96768360
由此看出随 n 增长,是指数增长。
5、群牛问题
列辛(Lessing 1729-1781)在沃尔芬布台尔(Wolffenbüttel)图书馆发现一份手稿,并于1773年发表,将这个问题归于阿基米德(Archimedes)名下。问题写
成22行希腊哀歌体的对句诗。用数学语言可以表述于下:
要求满足一些算术限制的属于太阳神的白色的,黑色的,有斑点的与棕色的公牛个数,设这四种公牛的个数分别为x,y,z,t,则他们满足方程
(1)
其次,命分别表示为同样颜色的母牛个数,则满足
(2)
还要满足
(3) x+y 为一个平方数,
(4) z+t 为一个三角数。
方程(1)是一个不定方程组,线性的,有通解
(x ,y ,z , t)=m (2226,1602,1580,891), m为正整数,
于是(2)有解