单摆-问题.doc

单摆
单摆振动周期振幅环境讨论
θ
G
G1
G2
图1
P
O
高中物理课本把悬挂小球的细线的伸缩量和质量可以忽略,线长又比球的直径大得多,这种装置叫单摆,如图1所示。单摆在振动过程中,回复力由重力在速度方向的分力提供。当摆球运动到
任一点P时重力沿速度方向的分力,在
时,,回复力,单摆做简谐
振动,振动周期表示为,跟振幅和摆球的
质量无关。
一、周期与振幅的关系
关于简谐振动的周期与振幅无关的结论,只是在一定条件下的近似,严格说来,其周期与振幅是有关的。
由牛顿第二定律可知,单摆的运动方程为①
即,当振幅很小时,摆角θ也很小,,方程由非线性振动转化为线性振动,即②
其解为,式中θ0为最大摆角(振幅),角频率,为初相位,符合简谐振动的特点,其周期为,在摆角θ小于50时,周期与振幅和摆球的质量无关。
值得指出的是,当摆角较大时,,由方程①知单摆做非线性振动,振动周期随振幅变化,周期T’表示为
.
相对误差.
当取不同的值时,相对误差如下表所示:
600
300
150
100
50




×10-4
显然,当时,相对误差小于1‰,单摆由非线性振动转化为线性振动,周期T与振幅和摆球的质量无关,这就是单摆线性振动的等时性。荷兰物理学家惠更斯正是利用了单摆的这种等时性发明了带摆的计时器,通过改变摆长可以很方便地调节摆的周期。
二、周期与地理位置的关系
常见的问题有两类:
1、把单摆由赤道移向两极时周期发生变化
由于越靠近两极,重力加速度越大,周期变小。对于纬度相同或相近的不同地区,由于地质构造不同,重力加速度也存在着差别。
2、把一单摆分别置于半径为、,质量分别为、的两行星表面上,求振动周期之比。
从公式中不难看出,周期的大小取决于行星表面的重力加速度,若忽略行星自转的影响,则有.
即,所以周期之比.
三、周期与高度的关系
例如,一单摆在地球表面的振动周期为,把它移到h米高处的周期是多少?
(设地球半径为)
设地球质量为,由牛顿第二定律,有,
在地球表面上:
离地面h米高处:
则.
可见,当高度增加时,重力加速度变小,单摆的振动变慢,周期变长。
四、在运动系统中单摆的周期
1、在匀速运动系统(惯性系统)内
由于系统处于匀速直线运动状态,摆球的受力与系统静止时一样,所以单摆的周期不变,仍为.
2、在加速竖直升降的系统内
①当升降机匀加速上升或匀减速下降时,悬挂于其中的单摆相对于升降机静止时摆线的拉力,等效重力加速度,
单摆的周期.
②当升降机匀减速上升或匀加速下降时,悬挂于其中的单摆相对于升降机静止时摆线的拉力,等效重力加速度,
单摆的周期.
当时,单摆周期无穷大,即停振,因为此时重力全部用来产生向下的加速度,不存在单摆振动所必需的回复力。
当时,摆球不会摆动,而是先向上撞击升降机顶板,后弹回,在竖直方向做往返直线运动,因与升降机顶板碰撞有机械能损失,故最后小球贴在升降机的顶板上。
3、在匀速运转的卫星内
在匀速运转的卫星内,摆球受到的万有引力全部充当了与卫星一起环绕行星运动所需的向心力,处于完全失重状态,所以单摆不会振动。
4、在水平加速运动的车厢内
如图2所