(随机信号分析基础)第六章窄带随机信号分析.ppt

希尔伯特变换 窄带随机信号的定义及表示 窄带随机信号的统计分析 窄带高斯随机信号包络和相位分布 随相正弦波信号加窄带高斯噪声之和的包络和相位的分布
第六章窄带随机信号分析
希尔伯特变换定义 对于实信号x(t), 其希尔伯特变换定义为 (6-1)反变换为  (6-2)
希尔伯特变换
上两式经过简单的变量替换, 可以写成  (6-3) (6-4)
由定义可知, x(t)的希尔伯特变换为x(t)与1/πt的卷积, 即  (6-5) 因此, 对x(t)的希尔伯特变换可以看成是x(t)通过单位冲激响应为1/πt的线性滤波器的输出信号, 因此希尔伯特变换可以称之为希尔伯特滤波器。希尔伯特滤波器是典型的线性时不变系统, 如图6-1所示。
图6-1 希尔伯特滤波器
对希尔伯特滤波器的单位冲激响应做傅里叶变换, 可得其传输函数为  (6-6)其中sgn(·)为符号函数。从希尔伯特变换器的传输函数可以看出, 它的幅频特性为 |Hh(ω)|=1 (6-7)它的相频特性为  (6-8)
此系统传输函数Hh(ω)的幅频特性和相频特性如图6-2所示。由此可以看出, 希尔伯特滤波器本质是上一个理想的π/2相移器。
图6-2 希尔伯特滤波器的传输函数
随机信号X(t)=acos(ω0t+Θ), 其中a, ω0为常量, Θ是服从(0, 2π)均匀分布的随机变量, 把此信号作为希尔伯特滤波器的输入, 求输出信号Y(t)的平稳性及总平均功率。 , 随机信号X(t)为广义平稳信号, 且有 由于希尔伯特变换器是线性时不变系统, 所以输出信号Y(t)也是广义平稳信号, 且 mY=mX·Hh(0)=0 
输出信号Y(t)的功率谱密度为 PY(ω)=PX(ω)·|Hh(ω)|2=PX(ω)总平均功率为
希尔伯特变换的性质 性质1 (6-9) H[·]表示希尔伯特正变换, 对x(t)连续两次进行希尔伯特变换相当于做两次π/2的相移, 即π的相移, 使信号反相。 性质2  (6-10) (6-11)