§ 窄带高斯过程包络平方的概率分布
在实际应用中,常在高频窄带滤波器的输出端接入一个平方滤波器,在平方滤波器输出端得到包络的平方
平方律检波器
S(t)
高频窄带系统
平方律检波器
X(t)
窄带高斯噪声包络平方的分布
其包络的平方为
设零均值的平稳高斯窄带噪声
均值为0,方差为,
其包络A(t)的一维概率密度为瑞利分布。
在t时刻的采样有
其雅克比行列式为
(指数分布)
由此得包络平方的一维概率密度为
经归一化处理,令随机变量
可得
的概率密度为
余弦信号加窄带高斯噪声包络平方的分布
其包络的平方为
因为包络服从广义瑞利分布
可推出包络的平方服从
分布和非中心分布
在许多应用中,如信号检测中,为了改进检测性能(增加信噪比),通常采用“视频积累技术”,即——对包络的平方进行独立采样后再积累,如下图所示。
包络A(t)和它的垂直分量有这样的关系
经采样后,加法器的输出为
都是同分布的高斯变量,所以又可得
标准高斯分布变量Xi的概率密度是
令
求出其概率密度
从而求得
的特征函数为
得到v 的特征函数为
V的概率密度为
其中
1,两个独立变量之和仍是变量。若它们各自的自由度是和,则它们的和变量为具有自由度的分布
分布的性质
2,n个自由度的变量的均值E[V]=n,方差D[v]=2n
非中心分布
当窄带过程为余弦函数与窄带高斯噪声之和时,则加法器输出的就是非中心函数
1,信号包络为常数的情况
化简为
带入
得
加法器输出端为
得其的概率密度为
其特征函数为
经傅里叶逆变换可得v’的概率密度为
其中
为非中心参量,
为第一类n阶修正贝塞尔数
其中,
归一化变量
处理得
是均值为、方差为1的相互独立高斯变量。
得V的概率密度为
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