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学习要点
消去法:包括高斯顺序消去法和列主元高斯消去法;
三对角方程组的追赶法;
各种向量范数和矩阵范数的概念;
解线性方程组的迭代法:Jacobi迭代法;Gauss-Seidel迭代法;
迭代法的收敛性判断;
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问题的提出
在自然科学和工程技术中很多问题的解决常常归结为解线性代数方程组。例如:
建筑工程中的结构力学问题;
用最小二乘法求实验数据的曲线拟合问题;
用差分法或者有限元法解常微分方程,偏微分方程边值问题等都导致求解线性方程组
而且后面几种情况常常归结为求解大型线性方程组。
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线性代数方面的计算方法就是研究求解线性方程组的一些数值解法与研究计算矩阵的特征值及特征向量的数值方法。
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式中,aij,bi为已知常数,xi为待求的未知量。记
设有线性方程组
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则式()可写出矩阵形式 Ax=b
也可以把式()写成增广矩阵形式
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关于线性方程组的数值解法一般有两类:
直接法:经过有限步算术运算,可求得方程组的精确解的方法(若在计算过程中没有舍入误差)
迭代法:用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法,迭代法具有占存储单元少,程序设计简单,原始系数矩阵在迭代过程中不变等优点,但存在收敛性及收敛速度等问题
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消去法
一上三角方程组的解法
设
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写出矩阵形式为:Ux = y
其中U称为上三角矩阵
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