函数的单调性是函数的一个重要特性.
如果函数f(x)在某区间上单调增加,,则曲线上各点处的切线斜率非负,即.
如果函数f(x)在某区间上单调减少,,则曲线上各点处的切线斜率非正,即.
设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)
(1) 如果在(a,b)内,那么,函数f(x)在[a,b]上严格单调增加.
(2) 如果在(a,b)内,那么,函数f(x)在[a,b]上严格单调减少.
由定理的条件可知,f(x)在上连续,在
内可导.
在[a,b]上任取两点,不妨设.
证
由拉格朗日中值定理可知,至少存在一点
, 使得
如果换为开区间、半开区间或换为无穷区间仍然有相仿的结论.
有必要指出,上述定理中[a,b]为闭区间,
例1
解
在(-2,1)内所给的函数严格单调减少.
由此可知,在及内,所给函数严格单调增加,
例2
解
例3 讨论函数的单调性.
解
当x=-1时, 不存在。
当x≠-1时, ,从而知所给函数在与
为单调严格减少函数.
由于函数在x=-1处连续,因此所给函数在
内为严格单调减少函数.
例4 讨论函数
的单调性.
当
当
解此函数为分段函数定义域为
由于
因此不存在,可知y在x=0处不连续.
当x<0时,
可知y为严格单调减少函数.
当x>0时,
可知y为严格单调减少函数.
由于y在x=0处不连续,且
因此只能说y在与内为严格单调减少函数.(不能说内为严格单调减少函数!)
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