函数的单调性.pptx

函数的单调性
函数的简单性质
观察下列函数图象
问题1:从图象上看,自变量x增大时,函数f(x)的值如何变化?
提示:甲图中,函数f(x)的值随x增大而增大.
乙图中,函数f(x)的值随x增大而减小.
丙图中,在y轴左侧函数f(x)的值随x的增大而减小;
在y轴右侧,函数f(x)的值随x的增大而增大.
提示:甲图中,若x1<x2,则f(x1)<f(x2);
乙图中,若x1<x2,则f(x1)>f(x2).
问题3:丙图中若x1<x2,f(x1)<f(x2)自变量x属于哪个区间?
提示:[0,+∞).
问题2:甲、乙两图中,若x1<x2,f(x1)与f(x2)的大小关系是什么?
概念
一般地,设函数y=f(x)的定义域为A,区间I,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说y=f(x)在区间I上是单调增函数,I称为y=f(x)。
如果对于区间I内的任意两个值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说y=f(x)在区间I上是单调减函数,I称为y=f(x)。
注意
1、如果函数y=f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数,那么就说函数y=f(x).
2、函数单调性定义的理解
一是任意性,即“任意取x1,x2”,不能取两个特殊值;二是x1,x2有大小,通常规定Δ x=x2-x1>0;三是x1,x2同属于定义域的某个子区间.
3、函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,=x2的定义域为R,当x∈[0,+∞)时是增函数,当x∈(-∞,0)时是减函数.
例题讲解
例1 画出下列函数图象,并写出单调区间:
(1)y=-x2+2;
(2)y= (x≠0);
(3)y= +1 (x≠0) .
解:(1)单调增区间为(-∞,0],单调减区间为(0,+∞).
(2)单调减区间为(-∞,0)和(0,+∞).
(3)单调减区间为(-∞,0)和(0,+∞).
例题讲解
注意:
(1)可以根据函数的图象写出函数的单调区间;
(2)写单调区间时,注意区间的端点;
(3)将y=f(x)的图象上下平移时,单调区间不发生改变;
(4)单调区间不能随便求并集.
例题讲解
例2 求证:函数 f(x)=- -1在区间(-∞,0)上是单调增函数.
证明:任取x1<x2<0,则
f(x2)-f(x1)=(- -1)-(- -1)
= - = .
因为x1<x2<0,所以x1x2>0,x2-x1>0,所
以>0,即f(x2)-f(x1)>0, 所以f(x2)>f(x1).
故f(x)在(-∞,0)上是单调增函数.
证明函数单调性的步骤
根据定义证明函数单调性的步骤:
⑴取值;
⑵作差变形;
⑶定号;
⑷判断.