主成分分析分析与实例.ppt

主成分分析
假定有n个样本,每个样本共有p个变量,构成一个n×p阶的数据矩阵
(1)
降维处理!!!
当p较大时,在p维空间中考察问题比较麻烦。
降维是用较少的几个综合指标代替原来较多的变量指标,而且使这些较少的综合指标既能尽量多地反映原来较多变量指标所反映的信息,同时它们之间又是彼此独立的。
定义:记x1,x2,…,xP为原变量指标,z1,z2,…,zm(m≤p)为新变量指标
(2)
系数lij的确定原则:

① zi与zj( i≠j;i,j=1,2,…,m )相互无关;
② z1是x1,x2,…,xP的一切线性组合中方差最大者,z2是与z1不相关的x1,x2,…,xP的所有线性组合中方差最大者;
……
zm是与z1,z2,……,zm-1都不相关的x1,x2,…xP, 的所有线性组合中方差最大者。
则新变量指标z1,z2,…,zm分别称为原变量指标x1,x2,…,xP的第一,第二,…,第m主成分。
从以上的分析可以看出,主成分分析的实质就是确定原来变量xj(j=1,2 ,…, p)在诸主成分zi(i=1,2,…,m)上的载荷 lij( i=1,2,…,m; j=1,2 ,…,p)。
从数学上可以证明,载荷lij分别是相关矩阵的m个较大的特征值所对应的特征向量。
二、计算步骤
(一)计算相关系数矩阵


rij(i,j=1,2,…,p)为原变量xi与xj的相关系数, rij=rji,其计算公式为:
(3)
(4)
(二)计算特征值与特征向量:
①解特征方程,求出特征值,并使其按大小顺序排列;
②分别求出对应于特征值的特征向量
,要求=1,即
, 其中表示向量的第j个分量。
③计算主成分贡献率及累计贡献率
▲贡献率:
▲累计贡献率:
一般取累计贡献率达85—95%的特征值
所对应的第一、第二、…、第m(m≤p)个主成分。
(6)
④各主成分的得分
实例