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例谈和差倍分关系的证明
(一)线段和差倍分的常用方法
,再证明剩下线段与另一较短线段相等.
,使延长的长度等于另一条较短线段的长度,则两条较短线段合并成一条线段,再证明合并线段与原长线段相等.
,遇有高的和差问题,常运用三角形的面积公式,根据“总量等于几个部分的和”列方程解决.
,通过计算获证.
,让问题解决.
,或相似三角形的对应边成比例,或圆(构造辅助圆)中的线段成比例,划归构建成“”或“”的模型,从而获得“”.
,设一个恰当的锐角为定值,利用锐角三角函数,通过求解获证.
(二)角度和差倍分的常用方法
主要结合已掌握的定义、公理、定理及法则,运用转化思想,,有时也运用分类讨论等数学思想方法.
例1:如图1,点、、、在⊙上,点在∠的内部,四边形为平行四边形,则∠+∠______°.
分析与解:根据同圆中同弧所对的圆周角是圆心角的一半,所以∠∠;又因为四边形是平行四边形,所以∠∠;圆内接四边形对角互补,∠+∠,所以∠,连接,则,,∠∠,∠∠,即有∠+∠.
点评:在圆中等腰三角形多,,本题常连接,构成两个等腰三角形,等边对等角,将∠+∠转化成∠,而∠是圆周角,同弧所对的圆周角等于圆心角的一半,∠等于∠的一半,且它与□的内角∠互补,用方程思想便可求得∠.,经常会利用它们的关系来将角度转化,解决此类题目除了熟练掌握与之相关的数学图形的性质外,还要学会识图,做到数形结合.
例2:如图2,是矩形内的任意一点,连接、、、,得到、、、,设它们的面积分别是、、、,给出如下结论:
①; ②;
③若,则; ④若,则点在矩形的对角线上.
其中正确的结论的序号是________.(把所有正确结论的序号都填在横线上)
分析与解:过点分别向、作垂线段,两个三角形的面积之和等于矩形面积的一半;同理,过点分别向、作垂线段,两个三角形的面积之和等于矩形面积的一半. ,又因为,则,所以④:②④.
点评:本题利用三角形的面积公式,计算得出②成立,要充分利用结论②去判断④,不仅要充分利用所给条件,②,就认为找到答案了,对每个结论都要认真分析,④,、四边形,遇有高的问题,一般用面积法解决比较简捷.
例3:如图3所示,已知、为直线上两点,点为直线上方一动点,连接、,分别以、为边向外作正方形和正方形,过点作⊥于点,过点作⊥于点.
(1)如图4,当点恰好在直线上时(此时与重合),试说明;
(2)在图3中,当、两点都在直线的上方时,试探求三条线段、、之间的数量关系,并说明理由;
(3)如图5,当点在直线的下方时,请直接写出三条线段、、之间的数量关系.(不需要证明)
分析与解:(1)在