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减肥模型
专科组:陈瑶江珅唐波
【摘要】
本文利用一阶线性微分方程,建立人体重变化与摄入热量的数学模型,先解出整数解,再讨论不同初值对解的影响:最后通过三种曲线的形式,直观的给出体重与摄入热量的动态变化规律;得出的结论是:提高单位体重单日消耗的热量值比减小热量摄入量对减肥更有效。
关键字:微分方程热量新陈代谢减肥
一问题重述:
某人每天由饮食获取10500焦耳的热量,其中5040焦耳用于新陈代谢。。其余热量则转化为脂肪。已知脂肪形式储存的热量利用率为100%,问此人的体重如何随时间变化?
二问题分析:
由题意可以求出,任意一天的体重的变化量与体重之间关系,将其推广,可看作任意一点的体重的变化率与体重之间关系,即可建立微分方程,进而求出体重变化规律
三模型假设:
(1)一天之内人的体重基本不变化,一天为t的最小单位;
(2)人的初始体重假设最低为25kg,最大为125kg;
(3) 存在一个连续可导的函数W(t),s使任意正整数n都满足W(n)=第n天人的体重;
(4)人体内多余的热量都转化为脂肪储存在体内;
(5)某人以脂肪形式储存的热量是100%地有效,而1千克脂肪含热量是42000焦耳。
四符号说明
Wt 表示人的体重
W0 表示人的初体重
Ws 表示人的稳定体重
P 表示每天饮食摄入的总热量
Q 表示每天新陈代谢消耗热量
K 表示每天热量净摄入量
R 表示每天每千克体重运动消耗热量
A 表示每千克脂肪所含热量
五建立模型:
一天的净摄入量
K=P-Q
每天运动消耗热量
R·W(t)
所以从t到t+t时间内体重的变化:
W(t+t) - W(t) = t - t
体重变化的数学模型:
= -
即


利用分离变量法解方程得:

由W(0)=得:
C=
从而得:
W(t)=
代入题目中的数值:
P=10500 Q=5040 R= A=42000
所以体重随时间变化的函数是:
W(t)=
即
W(t)=-(-W)
求导得:

即
用MatLab编程画出W从25Kg到125Kg每增长5Kg的体重随时间变化曲线图
代码见附件1
曲线方程为:W(t)=-(-W) (W=25:10:125,0<t<5000)
曲线图如下:
图1

图1结果分析:
这是假设人初始体重为25Kg,以10Kg的增速递增,最大值是125Kg时随着时间(t)的增长人体重(Kg)的变化曲线。
每条曲线都趋向一个稳定值Ws=,。
当人的初始体重小于Kg时,体重随时间单调递增,。
当人的初始体重大于Kg时,体重随时间单调递减,。
,按照此方案制定的减肥计划:每天(P-Q)。则在前3年减肥效果明显,到后来效果不明显。所以到后来应该改变减肥计划,