初三---相似图形思维导图内容---1.11..doc

★比例线段:在四条线段中,如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等,那么,这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.
线段a、b、c、d成比例,表示为或a∶b=c∶d(称其为比例式),其中a、b、c、d叫做组成比例的项,a、d叫做比例外项,b、c叫做比例内项,线段d叫做a、b、c的第四比例项.
若作为比例内项是两条相同的线段,即a∶b=b∶c或,那么线段b叫做线段a和c的比例中项.
例1、如果,且x+y+z=12,求x,y,z的值.
解:设,则x=3k-4,y=2k-3,z=4k-8.
代入x+y+z=12中,得3k-4+2k-3+4k-8=12,解得k=3.
∴x=3k-4=3×3-4=5,y=2k-3=2×3-3=3,z=4k-8=4×3-8=4.
★比例的基本性质
其中(3)称为合比性质,(4)称为等比性质.
例2、已知a,b,c分别是△ABC的三边长,且,试猜想△ABC的形状,并说明理由.
解:因为a+b+c≠0, 且,所以,
同理,因为 a≠0,b≠0,c≠0,所以a-b=0, b-c=0, c-a=0,即a=b,b=c,c=a,
所以 a=b=△ABC是等边三角形.
例3、如图,△ABC是一块锐角三角形余料,边BC=120mm,高AD=80mm,要把它加工成矩形零件,使一边在BC上,其余两个顶点分别在边AB、AC上,若这个矩形是正方形,那么边长是多少?若这个矩形的长是宽的两倍,则边长是多少?
 
解:(1)设正方形边长为xmm,∵ PQ∥AD,PN∥BC,根据平行线分线段成比例得
,由题意知PN=PQ=x,AD=80,BC=120,
∴,两式相加得
解得x=48.∴这个正方形的边长为48mm.
(2)设长方形的宽为xmm,长为2xmm,∵ PQ∥AD,PN∥BC,根据平行线分线段成比例得,
①若PN=2x, PQ=x,AD=80,BC=120,∴,两式相加得
解得x=
②若PN=x, PQ=2x,AD=80,BC=120,∴,两式相加得

解得x=30(mm),∴2x=60(mm).
答:矩形的长为宽为或长为60mm,宽为30mm.
★相似多边形
1)相似图形定义:形状相同的图形称为相似图形.
2)相似多边形定义:一般地,各角分别相等、.
3)相似多边形的性质及判定
相似多边形的性质:对应角相等,对应边成比例.
相似多边形的判定:(1)边数相同;(2)对应角相等;(3)对应边成比例.
判定两个多边形相似,这三个条件缺一不可,另外,形状相同的图形也是相似图形.
★相似三角形的判定
1、相似三角形
定义:对应角相等,,当相似比等于1时,两个相似三角形全等.
2、相似三角形的判定
(1)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.
(2)平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.
(3)如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.
(4)如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似.