3.2 排队论模型.ppt

无限源的排队系统
这节假定顾客来源是无限的,顾客到达间隔时间服从负指数分布且不同的到达间隔时间相互独立,每个服务台服务一个顾客的时间服从负指数分布,服务台的服务时间相互独立,服务时间与间隔时间相互独立。
标准的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)
标准的M/M/1模型是指适合下列条件的排队系统:
(1)输入过程——顾客源是无限的,顾客单个到来,相互独立,一定时间
的到达数服从普阿松分布,到达过程已是平稳的。
(2)排队规则——单队,且对队长没有限制,先到先服务。
(3)服务机构——单台服务,各顾客的服务时间是相互独立的,服从相同
的负指数分布。
到达间隔时间和服务时间是相互独立的。
1. M/M/1/ 系统
设顾客流是参数为
的最简单流,
是单位时间内
,服务一个顾客的服
务时间
服从参数为

为记
在服务台忙时,单位时间平均服务
完的顾客数为
称
为服务强度
用N(t)表示在时刻t顾客在系统中的数量(包括等待服务的和正在接受服务的顾客).下证明系统
组成生灭过程.
由于顾客的到达是最简单流,参数.
在长为
的时间内有一个顾客到达的概率为
没有顾客到达的概率为
到达2个或2个以上顾客的概率为
在服务台忙时(总认为只要系统内有顾客,服务员就得进行服务),顾客接受服务完毕离开系统的间隔时间为
独立的、参数为
,输
出过程为一最简单流,参数为
,于是当系统忙时,在
时间区间内1个顾客被服务完的概率为
没有顾客被服务完的概率为
两个或
两个以上顾客被服务完的概率为
且
顾客数无关,与微小时问区间的起点无关.
与系统的
对任意给定的
微小增量
假设
先考虑j=i十1的情况,
当
时
P{ 时间内恰好到达1个顾客而没有顾客被服务完或恰好有k个顾客到达并且k -1个顾客被服务完,
p{ 时间内恰好到达1个顾客而没有顾客被服务完} 十{ 时间内到达k个顾客而服务完k -1个顾客,
=
当i=0 时
由以上结果,可知
是一生灭过程,并且
由生灭过程求平稳解公式,得
由假设
则
从而平稳分布为
服务台空闲的概率,而
是排队系统中没有顾客的核率,也就是
恰好是服务台忙的概率。