23.6波函数、不确定关系.ppt

波函数
一、波函数
1、经典的波与波函数
电磁波
机械波
经典波为实函数
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自由粒子是不受外力作用的粒子,它在运动过程中作匀速直线运动(设沿X轴),其能量和动量保持不变。
结论:自由粒子的物质波是单色平面波。
对应的德布罗意波的频率和波长:
2、量子力学波函数(复函数)
对三维空间,沿矢径方向传播的自由粒子的波函数为:
2
与光波类比,物质波的强度:
由玻恩的统计解释,在某处德布罗意波的强度是与粒子在该处出现的概率W成正比的。
是
的共轭复数。
正实数
某一时刻出现在某点附近在体积元中的粒子的概率为:
由此可见, 为粒子在某点附近单位体积内粒子出现的几率,称为几率密度。即:
3、波函数的统计解释
波函数不仅把粒子与波统一起来,同时以几率幅(几率密度幅)的形式描述粒子的量子运动状态。
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波函数Ψ(x, y, z, t)的统计解释(哥本哈根解释):波函数模的平方代表某时刻 t 在空间某点(x, y, z) 附近单位体积内发现粒子的概率,即|Ψ| 2 代表概率密度。
波函数的统计意义是波恩于1926年提出的。由于波恩在量子力学所作的基础研究,特别是波函数的统计解释,他与博特共享了1954年的诺贝尔物理学奖。
根据波恩的解释,波函数本身并没有直接的物理意义,有物理意义的是波函数模的平方。从这点来说,物质波在本质上与电磁波、机械波是不同的,物质波是一种几率波,它反映微观粒子运动的统计规律。
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粒子在某一个时刻t,在空间某点上粒子出现的几率应该是唯一的、有限的,所以波函数必须是单值的、有限的;又因为粒子在空间的几率分布不会发生突变,所以波函数还必须是连续的。
由于粒子必定要在空间中的某一点出现,所以任意时刻,在整个空间发现粒子的总几率应是1。所以应有:
4、波函数应满足的条件
1)标准条件
2)归一化条件
波函数必须满足“单值、有限、连续”的条件,称为波函数的标准条件。也就是说,波函数必须连续可微,且一阶导数也连续可微。
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这称为波函数的归一化条件。
如果波函数对整个空间的积分值是有限的,但不为零,则可以适当选取波函数的系数,使这积分值为1,这个过程称为波函数的归一化过程。
量子力学中的波函数具有一个独特的性质:波函数与波函数/=c(c为任意常数)所描写的是粒子的同一状态。
原因:粒子在空间各点出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度,而不决定于强度的绝对大小。
如果把波函数在空间各点的振幅同时增大一倍,并不影响粒子在空间各点的几率。所以将波函数乘上一个常数后,所描写的粒子的状态并不改变。
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以一维波函数为例,在下述四种函数曲线中,只有一种符合标准条件
Y
Y
Y
Y
X
O
X
O
O
X
O
X
符合
不符合
不符合
不符合
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德布罗意波(概率波)不同于经典波(如机械波、电磁波)
是振动状态的传播
不代表任何物理量的传播
波强(振幅的平方)代表通过某点的能流密度
波强(振幅的平方)代表粒子在某处出现的概率密度
概率密度分布取决于空间各点波强的比例,并非取决于波强的绝对值。
能流密度分布取决于空间各点的波强的绝对值。
因此,将波函数在空间各点的振幅同时增大 C倍,不影响粒子的概率密度分布,即和C 所描述德布罗意波的状态相同。
Y
Y
因此,将波函数在空间各点的振幅同时增大 C倍,则个处的能流密度增大 C2 倍,变为另一种能流密度分布状态。
波动方程无归一化问题。
波函数存在归一化问题。
德布罗意波
经典波
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解:(1)由归一化条件
解得
(2)粒子的概率密度为
粒子在0到a/2区域内出现的概率
(3)概率最大的位置应该满足
即当
时,粒子出现的概率最大。因为0<x<a,故得x=a/2,此处粒子出现的概率最大。
例:作一维运动的粒子被束缚在0<x<a的范围内,已知其波函数为:
求:(1)常数A;(2)粒子在0到a/2区域内出现的概率;(3)粒子在何处出现的概率最大?
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一、引入
经典力学:宏观粒子的运动具有决定性的规律,原则上说可同时用确定的坐标与确定的动量来描述宏观物体的运动。
微观粒子:由于波动性,粒子以一定的概率在空间出现,即粒子在任一时刻不具有确定的位置。
二、电子单缝衍射
电子通过单缝位置的不确定量:

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